Chào em! Thầy/cô hiểu là em đang gặp khó khăn với bài tập này. Đừng lo lắng nhé, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết từng bước một. Đây là những dạng bài rất cơ bản và quan trọng của chương căn bậc hai, nên nắm chắc kiến thức sẽ giúp em học tốt hơn rất nhiều!

— Bài giải chi tiết —

Bài 1: Tính giá trị biểu thức A: \(A=\sqrt{75}+\sqrt{48}-\frac{1}{2}\sqrt{300}\)

Để tính giá trị của biểu thức này, chúng ta cần rút gọn các căn bậc hai trước. Mục tiêu là biến đổi các số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương và một số tự nhiên khác (nếu có thể), sau đó đưa số chính phương ra ngoài dấu căn.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Rút gọn từng số hạng.

• Số hạng thứ nhất: \(\sqrt{75}\)

Ta thấy \(75 = 25 \times 3\), mà \(25\) là số chính phương \((5^2)\).

Do đó: \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).

• Số hạng thứ hai: \(\sqrt{48}\)

Ta thấy \(48 = 16 \times 3\), mà \(16\) là số chính phương \((4^2)\).

Do đó: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).

• Số hạng thứ ba: \(\frac{1}{2}\sqrt{300}\)

Ta thấy \(300 = 100 \times 3\), mà \(100\) là số chính phương \((10^2)\).

Do đó: \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\).

Khi đó, số hạng thứ ba trở thành: \(\frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).

Bước 2: Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức A.

\(A = 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} – 5\sqrt{3}\)

Bước 3: Thực hiện phép cộng và trừ các số hạng đồng dạng (có chung \(\sqrt{3}\)).

\(A = (5 + 4 – 5)\sqrt{3}\)

\(A = (9 – 5)\sqrt{3}\)

\(A = 4\sqrt{3}\)

Vậy, giá trị của biểu thức A là: \(A = 4\sqrt{3}\).

Bài 2: Tính giá trị biểu thức B: \(B=\sqrt{(\sqrt{2}-3)^{2}}-\sqrt{(2-\sqrt{2})^{2}}\)

Đối với bài toán này, em cần nhớ một công thức rất quan trọng của căn bậc hai: \(\sqrt{x^2} = |x|\) (giá trị tuyệt đối của x). Công thức này có nghĩa là kết quả của \(\sqrt{x^2}\) luôn là một số không âm.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Áp dụng công thức \(\sqrt{x^2} = |x|\) cho từng số hạng.

• Số hạng thứ nhất: \(\sqrt{(\sqrt{2}-3)^{2}}\)

Áp dụng công thức, ta có: \(\sqrt{(\sqrt{2}-3)^{2}} = |\sqrt{2}-3|\).

• Số hạng thứ hai: \(\sqrt{(2-\sqrt{2})^{2}}\)

Áp dụng công thức, ta có: \(\sqrt{(2-\sqrt{2})^{2}} = |2-\sqrt{2}|\).

Bước 2: Xác định dấu của các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

• Xét \(|\sqrt{2}-3|\):

Ta biết rằng \(1 < \sqrt{2} < 2\) (vì \(1^2=1\) và \(2^2=4\)).

Do đó, \(\sqrt{2}\) (khoảng 1.414) nhỏ hơn \(3\).

Vậy, \(\sqrt{2}-3\) là một số âm.

Khi biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối là số âm, ta phải đổi dấu biểu thức đó khi phá dấu giá trị tuyệt đối: \(|\sqrt{2}-3| = -(\sqrt{2}-3) = -\sqrt{2}+3 = 3-\sqrt{2}\).

• Xét \(|2-\sqrt{2}|\):

Ta so sánh \(2\) và \(\sqrt{2}\).

Vì \(2^2 = 4\) và \((\sqrt{2})^2 = 2\), nên \(2 > \sqrt{2}\).

Vậy, \(2-\sqrt{2}\) là một số dương.

Khi biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối là số dương, ta giữ nguyên biểu thức đó khi phá dấu giá trị tuyệt đối: \(|2-\sqrt{2}| = 2-\sqrt{2}\).

Bước 3: Thay các biểu thức đã phá dấu giá trị tuyệt đối vào biểu thức B.

\(B = (3-\sqrt{2}) – (2-\sqrt{2})\)

Bước 4: Thực hiện phép trừ và rút gọn.

Nhớ đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc thứ hai khi bỏ dấu ngoặc:

\(B = 3-\sqrt{2} – 2 + \sqrt{2}\)

Ghép các số hạng đồng dạng:

\(B = (3-2) + (-\sqrt{2}+\sqrt{2})\)

\(B = 1 + 0\)

\(B = 1\)

Vậy, giá trị của biểu thức B là: \(B = 1\).

—

Lưu ý quan trọng:
1. Với bài A, việc phân tích số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương lớn nhất và một số không phải số chính phương (hoặc số nguyên tố) sẽ giúp em rút gọn nhanh chóng và chính xác nhất.
2. Với bài B, công thức \(\sqrt{x^2} = |x|\) là mấu chốt. Luôn nhớ phải xác định dấu của biểu thức bên trong dấu căn trước khi phá dấu giá trị tuyệt đối nhé. Đây là lỗi sai thường gặp nhất ở học sinh lớp 9 đấy!

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ hơn về cách làm bài. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé! Chúc em học tốt!