Bài 1: Tính giá trị biểu thức A

Cho biểu thức:

\(A = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} – \sqrt{5}(\sqrt{5}+1)\)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chúng ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức.

Phần thứ nhất: \(\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}\)

Theo quy tắc căn bậc hai của một bình phương, ta có \(\sqrt{a^2} = |a|\). Trong trường hợp này, \(a = \sqrt{5}+1\). Vì \(\sqrt{5} > 0\) và \(1 > 0\) nên \(\sqrt{5}+1 > 0\).

Do đó, \(\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = |\sqrt{5}+1| = \sqrt{5}+1\).

Phần thứ hai: \(\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)\)

Chúng ta sẽ áp dụng tính chất phân phối để nhân \(\sqrt{5}\) vào trong ngoặc:

\(\sqrt{5}(\sqrt{5}+1) = \sqrt{5} \times \sqrt{5} + \sqrt{5} \times 1\)

\(= (\sqrt{5})^2 + \sqrt{5}\)

\(= 5 + \sqrt{5}\)

Bước 2: Thay kết quả của hai phần vào biểu thức A.

\(A = (\sqrt{5}+1) – (5 + \sqrt{5})\)

Bước 3: Thực hiện phép trừ.

\(A = \sqrt{5} + 1 – 5 – \sqrt{5}\)

Nhóm các số hạng giống nhau lại:

\(A = (\sqrt{5} – \sqrt{5}) + (1 – 5)\)

\(A = 0 + (-4)\)

\(A = -4\)

Vậy, giá trị của biểu thức A là -4.

Bài 2: Tính giá trị biểu thức B

Cho biểu thức:

\(B = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} – \dfrac{3x}{x-4}\)

với \(x \geq 0, x \neq 4\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm mẫu số chung.

Ta thấy các mẫu số là \(\sqrt{x}-2\), \(\sqrt{x}+2\) và \(x-4\).

Ta nhận thấy \(x-4 = (\sqrt{x})^2 – 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\).

Vậy, mẫu số chung nhỏ nhất là \((\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\) hay \(x-4\).

Bước 2: Quy đồng mẫu số cho từng phân thức.

Phân thức thứ nhất: \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

Nhân cả tử và mẫu với \((\sqrt{x}+2)\):

\(\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2}{x-4} = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 2}{x-4}\)

Phân thức thứ hai: \(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)

Nhân cả tử và mẫu với \((\sqrt{x}-2)\):

\(\dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} = \dfrac{2(\sqrt{x})^2 – 4\sqrt{x}}{x-4} = \dfrac{2x – 4\sqrt{x}}{x-4}\)

Phân thức thứ ba: \(\dfrac{3x}{x-4}\)

Mẫu số đã là \(x-4\) nên giữ nguyên.

Bước 3: Cộng và trừ các phân thức đã quy đồng.

\(B = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 2}{x-4} + \dfrac{2x – 4\sqrt{x}}{x-4} – \dfrac{3x}{x-4}\)

Kết hợp các tử số trên cùng một mẫu số:

\(B = \dfrac{(x + 3\sqrt{x} + 2) + (2x – 4\sqrt{x}) – 3x}{x-4}\)

Bước 4: Rút gọn tử số.

Ta gộp các số hạng giống nhau trong tử số:

Tử số = \(x + 2x – 3x + 3\sqrt{x} – 4\sqrt{x} + 2\)

Tử số = \((1+2-3)x + (3-4)\sqrt{x} + 2\)

Tử số = \(0x – \sqrt{x} + 2\)

Tử số = \(-\sqrt{x} + 2\) hoặc \(2 – \sqrt{x}\)

Bước 5: Viết lại biểu thức B sau khi rút gọn tử số.

\(B = \dfrac{2 – \sqrt{x}}{x-4}\)

Bước 6: Rút gọn tiếp (nếu có thể).

Ta nhận thấy \(x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\) và \(2 – \sqrt{x} = -(\sqrt{x}-2)\).

Thay vào biểu thức B:

\(B = \dfrac{-(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Với điều kiện \(x \neq 4\), tức là \(\sqrt{x} \neq 2\), nên \(\sqrt{x}-2 \neq 0\). Ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-2\) ở cả tử và mẫu.

\(B = \dfrac{-1}{\sqrt{x}+2}\)

Vậy, giá trị của biểu thức B là \(\dfrac{-1}{\sqrt{x}+2}\).

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải hai bài tập này. Hãy ôn tập lại các kiến thức về căn bậc hai và quy đồng mẫu số để làm bài tốt hơn nhé! Nếu có thắc mắc, đừng ngần ngại hỏi cô.