Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán đại số rất hay, giúp các em củng cố kiến thức về biến đổi biểu thức và giải phương trình. Hãy chú ý theo dõi nhé!

Bài 1:

Cho \( a>b>0 \) và \( 3a^2+3b^2=10ab \). Tính giá trị biểu thức: \( P=\frac{a-b}{a+b} \).

Lời giải chi tiết:

Chúng ta có phương trình đã cho là: \( 3a^2+3b^2=10ab \).

Với điều kiện \( a>b>0 \), ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho \( b^2 \) (vì \( b \neq 0 \)).

Ta được:

\( \frac{3a^2}{b^2} + \frac{3b^2}{b^2} = \frac{10ab}{b^2} \)

\( 3 \left(\frac{a}{b}\right)^2 + 3 = 10 \left(\frac{a}{b}\right) \)

Để đơn giản, chúng ta đặt \( x = \frac{a}{b} \).

Vì \( a>b>0 \), nên \( x = \frac{a}{b} > 1 \).

Thay \( x \) vào phương trình, ta có phương trình bậc hai:

\( 3x^2 + 3 = 10x \)

\( 3x^2 – 10x + 3 = 0 \)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Phân tích thành nhân tử:

\( 3x^2 – 9x – x + 3 = 0 \)

\( 3x(x – 3) – 1(x – 3) = 0 \)

\( (3x – 1)(x – 3) = 0 \)

Từ đó suy ra:

\( 3x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)

Hoặc

\( x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)

Theo điều kiện \( x = \frac{a}{b} > 1 \), ta chọn nghiệm \( x = 3 \).

Vậy, \( \frac{a}{b} = 3 \), suy ra \( a = 3b \).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( a = 3b \) vào biểu thức \( P \):

\( P = \frac{a-b}{a+b} \)

\( P = \frac{3b-b}{3b+b} \)

\( P = \frac{2b}{4b} \)

Vì \( b>0 \), ta có thể rút gọn \( b \):

\( P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Vậy, giá trị của biểu thức \( P \) là \( \frac{1}{2} \).

Bài 2:

Các số \( a,b \) thỏa mãn điều kiện:

\( \begin{cases} a^3-3ab^2=19 \quad (1)\\ b^3-3ba^2=98 \quad (2)\\ \end{cases} \)

Hãy tính giá trị biểu thức: \( a^2+b^2 \).

Lời giải chi tiết:

Bài toán này yêu cầu chúng ta tính tổng bình phương của \( a \) và \( b \), tức là \( a^2+b^2 \), từ hai phương trình đã cho. Chúng ta cần tìm một cách khéo léo để kết hợp hai phương trình này.

Trước hết, chúng ta có thể viết lại phương trình (2) một chút để dễ dàng sử dụng trong các bước tiếp theo:

\( b^3-3ba^2 = 98 \)

Nhân cả hai vế với \( -1 \):

\( -(b^3-3ba^2) = -98 \)

\( -b^3+3ba^2 = -98 \)

Vậy, ta có: \( 3a^2b – b^3 = -98 \quad (3) \)

Bây giờ, hãy xem xét một hằng đẳng thức đáng chú ý. Chúng ta sẽ tính bình phương của các vế trái của phương trình (1) và phương trình (3) rồi cộng chúng lại. Sau đó, chúng ta sẽ chứng minh rằng tổng này bằng \( (a^2+b^2)^3 \).

Chúng ta cần tính:

\( (a^3 – 3ab^2)^2 + (3a^2b – b^3)^2 \)

Trước hết, hãy khai triển từng hạng tử:

\( (a^3 – 3ab^2)^2 = (a^3)^2 – 2(a^3)(3ab^2) + (3ab^2)^2 \)

\( = a^6 – 6a^4b^2 + 9a^2b^4 \)

Tiếp theo, khai triển hạng tử thứ hai:

\( (3a^2b – b^3)^2 = (3a^2b)^2 – 2(3a^2b)(b^3) + (b^3)^2 \)

\( = 9a^4b^2 – 6a^2b^4 + b^6 \)

Bây giờ, chúng ta cộng hai kết quả khai triển này lại:

\( (a^6 – 6a^4b^2 + 9a^2b^4) + (9a^4b^2 – 6a^2b^4 + b^6) \)

Gộp các số hạng đồng dạng (nhóm các hạng tử có cùng bậc của \( a \) và \( b \)):

\( = a^6 + (9a^4b^2 – 6a^4b^2) + (9a^2b^4 – 6a^2b^4) + b^6 \)

\( = a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6 \)

Chúng ta nhận thấy biểu thức này chính là khai triển của \( (a^2+b^2)^3 \), theo công thức lập phương của một tổng \( (x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \), với \( x=a^2 \) và \( y=b^2 \):

\( (a^2+b^2)^3 = (a^2)^3 + 3(a^2)^2(b^2) + 3(a^2)(b^2)^2 + (b^2)^3 \)

\( = a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6 \)

Vậy, chúng ta có hằng đẳng thức:

\( (a^3 – 3ab^2)^2 + (3a^2b – b^3)^2 = (a^2+b^2)^3 \)

Áp dụng các giá trị đã cho vào hằng đẳng thức này:

Từ (1), ta có \( a^3 – 3ab^2 = 19 \).

Từ (3), ta có \( 3a^2b – b^3 = -98 \).

Thay vào hằng đẳng thức, ta được:

\( (19)^2 + (-98)^2 = (a^2+b^2)^3 \)

Tính toán các giá trị bình phương:

\( 19^2 = 361 \)

\( (-98)^2 = 98^2 = 9604 \)

Cộng hai giá trị này lại:

\( 361 + 9604 = (a^2+b^2)^3 \)

\( 9965 = (a^2+b^2)^3 \)

Để tìm \( a^2+b^2 \), chúng ta lấy căn bậc ba hai vế:

\( a^2+b^2 = \sqrt[3]{9965} \)

Giá trị \( 9965 \) không phải là lập phương của một số nguyên (ví dụ: \( 21^3 = 9261 \) và \( 22^3 = 10648 \)), vì vậy kết quả của chúng ta là \( \sqrt[3]{9965} \).

Vậy, giá trị của biểu thức \( a^2+b^2 \) là \( \sqrt[3]{9965} \).

Hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải của hai bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!