Chào em, thầy hiểu là đôi khi mình cũng hơi “lười” một chút, nhưng không sao cả! Đó là lúc chúng ta cần những phương pháp thông minh để giải bài toán hiệu quả hơn. Bài toán này trông có vẻ dài nhưng thực ra rất thú vị và có một “mẹo” nhỏ đó!

Chúng ta cùng phân tích biểu thức D nhé:

D = \( \frac{5}{1 \cdot 6} + \frac{5}{6 \cdot 11} + \frac{5}{11 \cdot 16} + \frac{5}{16 \cdot 21} + \frac{5}{21 \cdot 26} \)

Quan sát các phân số, em có nhận xét gì đặc biệt không?

• Tất cả các tử số đều là 5.
• Ở mẫu số, em thấy tích của hai số. Ví dụ: \(1 \cdot 6\), \(6 \cdot 11\), …
• Điều đặc biệt là: hiệu của hai số ở mẫu số lại chính bằng tử số!
• \(6 – 1 = 5\)
• \(11 – 6 = 5\)
• \(16 – 11 = 5\)
• \(21 – 16 = 5\)
• \(26 – 21 = 5\)

Đây chính là “chìa khóa” để giải bài toán này một cách nhanh chóng. Chúng ta sẽ áp dụng công thức tách phân số sau:

Công thức tổng quát: \( \frac{k}{a \cdot (a+k)} = \frac{1}{a} – \frac{1}{a+k} \)

Hãy thử áp dụng cho phân số đầu tiên nhé: \( \frac{5}{1 \cdot 6} \). Ở đây, \(a = 1\), số thứ hai ở mẫu là \(a+k = 6\), vậy \(k = 6 – 1 = 5\).

\( \frac{5}{1 \cdot 6} = \frac{1}{1} – \frac{1}{6} \)

Thật đơn giản phải không nào? Tương tự, chúng ta sẽ tách từng phân số trong biểu thức D:

• \( \frac{5}{1 \cdot 6} = \frac{1}{1} – \frac{1}{6} \)
• \( \frac{5}{6 \cdot 11} = \frac{1}{6} – \frac{1}{11} \)
• \( \frac{5}{11 \cdot 16} = \frac{1}{11} – \frac{1}{16} \)
• \( \frac{5}{16 \cdot 21} = \frac{1}{16} – \frac{1}{21} \)
• \( \frac{5}{21 \cdot 26} = \frac{1}{21} – \frac{1}{26} \)

Bây giờ, chúng ta hãy thay thế các phân số đã tách vào biểu thức D:

D = \( \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} – \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} – \frac{1}{16} \right) + \left( \frac{1}{16} – \frac{1}{21} \right) + \left( \frac{1}{21} – \frac{1}{26} \right) \)

Em thấy có điều gì đặc biệt xảy ra không? Các số hạng ở giữa sẽ tự triệt tiêu lẫn nhau (một số hạng trừ đi và một số hạng cộng vào sẽ bằng 0)!

D = \( \frac{1}{1} \color{red}{- \frac{1}{6} + \frac{1}{6}} \color{blue}{- \frac{1}{11} + \frac{1}{11}} \color{green}{- \frac{1}{16} + \frac{1}{16}} \color{purple}{- \frac{1}{21} + \frac{1}{21}} – \frac{1}{26} \)

Sau khi triệt tiêu, chúng ta chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

D = \( \frac{1}{1} – \frac{1}{26} \)

D = \( 1 – \frac{1}{26} \)

Để trừ hai phân số (hoặc một số nguyên với một phân số), chúng ta cần quy đồng mẫu số:

D = \( \frac{26}{26} – \frac{1}{26} \)

D = \( \frac{26 – 1}{26} \)

D = \( \frac{25}{26} \)

Vậy, giá trị của biểu thức D là \( \frac{25}{26} \).

Thấy không? Ban đầu trông có vẻ phức tạp nhưng khi tìm ra “mẹo” thì bài toán trở nên rất đơn giản. Đây là dạng bài rất hay gặp, em cố gắng ghi nhớ cách làm này nhé. Cứ luyện tập nhiều là sẽ thành thạo thôi! Chúc em học tốt!