Chào các em! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em ôn lại và tính toán giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà chúng ta thường gặp trong chương trình Toán lớp 11. Đó là các góc \(\alpha = 15^o; 30^o; 45^o; 60^o\).

Chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng góc một nhé!

1. Tính giá trị lượng giác của góc 30 độ:

Góc 30 độ là một trong những góc cơ bản mà chúng ta đã quen thuộc từ chương trình lớp 9. Chúng ta có thể sử dụng tam giác vuông đặc biệt để suy ra các giá trị này.

Xét một tam giác vuông có một góc 30 độ. Cạnh đối diện với góc 30 độ bằng một nửa cạnh huyền. Cạnh kề với góc 30 độ sẽ có độ dài bằng \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) lần cạnh huyền.

Do đó, ta có:

• Sin(30°) = Cạnh đối / Cạnh huyền = \( \frac{1}{2} \)
• Cos(30°) = Cạnh kề / Cạnh huyền = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Tan(30°) = Cạnh đối / Cạnh kề = \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
• Cot(30°) = Cạnh kề / Cạnh đối = \( \sqrt{3} \)

2. Tính giá trị lượng giác của góc 45 độ:

Tương tự, góc 45 độ cũng là một góc đặc biệt. Chúng ta xem xét một tam giác vuông cân, với hai góc nhọn bằng 45 độ.

Trong tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng nhau. Nếu gọi độ dài cạnh góc vuông là a, thì cạnh huyền sẽ có độ dài là \( a\sqrt{2} \) (theo định lý Pitago).

Do đó, ta có:

• Sin(45°) = Cạnh đối / Cạnh huyền = \( \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Cos(45°) = Cạnh kề / Cạnh huyền = \( \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Tan(45°) = Cạnh đối / Cạnh kề = \( \frac{a}{a} = 1 \)
• Cot(45°) = Cạnh kề / Cạnh đối = \( \frac{a}{a} = 1 \)

3. Tính giá trị lượng giác của góc 60 độ:

Góc 60 độ có mối liên hệ đặc biệt với góc 30 độ. Một tam giác vuông có một góc 60 độ sẽ có góc nhọn còn lại là 30 độ.

Xét một tam giác vuông có một góc 60 độ. Cạnh đối diện với góc 60 độ sẽ có độ dài bằng \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) lần cạnh huyền. Cạnh kề với góc 60 độ bằng một nửa cạnh huyền.

Do đó, ta có:

• Sin(60°) = Cạnh đối / Cạnh huyền = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Cos(60°) = Cạnh kề / Cạnh huyền = \( \frac{1}{2} \)
• Tan(60°) = Cạnh đối / Cạnh kề = \( \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \)
• Cot(60°) = Cạnh kề / Cạnh đối = \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

4. Tính giá trị lượng giác của góc 15 độ:

Đối với góc 15 độ, chúng ta có thể sử dụng công thức cộng hoặc trừ các góc đã biết. Ở đây, chúng ta có thể biểu diễn 15 độ dưới dạng hiệu của hai góc quen thuộc, ví dụ \( 15^o = 45^o – 30^o \).

Ta sử dụng công thức:

• Sin(A – B) = SinA.CosB – CosA.SinB
• Cos(A – B) = CosA.CosB + SinA.SinB
• Tan(A – B) = (TanA – TanB) / (1 + TanA.TanB)

Áp dụng với A = 45 độ và B = 30 độ:

• Sin(15°) = Sin(45° – 30°) = Sin45°.Cos30° – Cos45°.Sin30°

= \( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \)
= \( \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4} \)
= \( \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \)

• Cos(15°) = Cos(45° – 30°) = Cos45°.Cos30° + Sin45°.Sin30°

= \( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \)
= \( \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \)
= \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

• Tan(15°) = Tan(45° – 30°) = (Tan45° – Tan30°) / (1 + Tan45°.Tan30°)

= \( \frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \)
= \( \frac{\frac{3 – \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} \)
= \( \frac{3 – \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \)
= \( \frac{(3 – \sqrt{3})(3 – \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 – \sqrt{3})} \)
= \( \frac{9 – 6\sqrt{3} + 3}{9 – 3} \)
= \( \frac{12 – 6\sqrt{3}}{6} \)
= \( 2 – \sqrt{3} \)

• Cot(15°) = 1 / Tan(15°) = 1 / (2 – \(\sqrt{3}\)) = \( 2 + \sqrt{3} \)

Tổng kết lại, các giá trị lượng giác của các góc cần tính là:

• Góc 15 độ:
• Sin(15°) = \( \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \)
• Cos(15°) = \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
• Tan(15°) = \( 2 – \sqrt{3} \)
• Cot(15°) = \( 2 + \sqrt{3} \)
• Góc 30 độ:
• Sin(30°) = \( \frac{1}{2} \)
• Cos(30°) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Tan(30°) = \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
• Cot(30°) = \( \sqrt{3} \)
• Góc 45 độ:
• Sin(45°) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Cos(45°) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Tan(45°) = 1
• Cot(45°) = 1
• Góc 60 độ:
• Sin(60°) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Cos(60°) = \( \frac{1}{2} \)
• Tan(60°) = \( \sqrt{3} \)
• Cot(60°) = \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Các em cố gắng ghi nhớ các giá trị này nhé, chúng sẽ rất hữu ích trong các bài tập tiếp theo. Nếu có câu hỏi gì, cứ mạnh dạn hỏi thầy!