tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3x^2 + 3 – 5x
4x + 2x^2 + 3
(x – 1)(x …
3x^2 + 3 – 5x
4x + 2x^2 + 3
(x – 1)(x – 3) + 11
x^2 – 2x + y^2 – 4y + 6
7+ x^2 + y^2 – 2(x + y)
2 + x^2 + y^2 + 2(x + y)
x^2 – 4x + y^2 + 2y – 10
2x – 2xy + 2x^2 + y^2
x^2 + 2y^2 + 2xy + 5 – 2y
Hãy cùng bắt đầu với từng bài tập nhé!
Bài 1: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(3x^2 + 3 – 5x\)
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, chúng ta sẽ cố gắng đưa nó về dạng bình phương của một biểu thức cộng với một hằng số. Đầu tiên, ta sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự lũy thừa giảm dần:
\(3x^2 – 5x + 3\)
Ta nhận thấy đây là một tam thức bậc hai. Để đưa về dạng bình phương, ta có thể sử dụng phương pháp tách hạng tử hoặc chia cho hệ số của \(x^2\). Ở đây, chúng ta sẽ chia cả biểu thức cho 3 để thuận tiện hơn:
\(3(x^2 – \frac{5}{3}x + 1)\)
Bây giờ, ta tập trung vào biểu thức trong ngoặc \(x^2 – \frac{5}{3}x + 1\). Chúng ta muốn biến \(x^2 – \frac{5}{3}x\) thành dạng \( (x – a)^2 = x^2 – 2ax + a^2 \).
So sánh \( – \frac{5}{3}x \) với \( -2ax \), ta có: \( – \frac{5}{3} = -2a \), suy ra \( a = \frac{5}{6} \).
Vậy, ta cần có \( a^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36} \).
Ta tách hạng tử 1 thành \( \frac{25}{36} + (1 – \frac{25}{36}) = \frac{25}{36} + \frac{11}{36} \).
Biểu thức trong ngoặc trở thành:
\(x^2 – \frac{5}{3}x + \frac{25}{36} + \frac{11}{36} = (x – \frac{5}{6})^2 + \frac{11}{36}\)
Quay trở lại biểu thức ban đầu, ta có:
\(3[(x – \frac{5}{6})^2 + \frac{11}{36}] = 3(x – \frac{5}{6})^2 + 3 \times \frac{11}{36} = 3(x – \frac{5}{6})^2 + \frac{11}{12}\)
Vì \( (x – \frac{5}{6})^2 \geq 0 \) với mọi \(x\), nên giá trị nhỏ nhất của \( 3(x – \frac{5}{6})^2 \) là 0, đạt được khi \( x = \frac{5}{6} \).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + \frac{11}{12} = \frac{11}{12} \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \frac{11}{12} \).
Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(4x + 2x^2 + 3\)
Ta sắp xếp lại biểu thức theo thứ tự lũy thừa giảm dần:
\(2x^2 + 4x + 3\)
Tương tự như bài trên, ta chia cả biểu thức cho 2:
\(2(x^2 + 2x + \frac{3}{2})\)
Bây giờ, ta biến \(x^2 + 2x\) thành dạng \( (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 \).
So sánh \( 2x \) với \( 2ax \), ta có: \( 2 = 2a \), suy ra \( a = 1 \).
Vậy, ta cần có \( a^2 = 1^2 = 1 \).
Ta tách hạng tử \( \frac{3}{2} \) thành \( 1 + \frac{1}{2} \).
Biểu thức trong ngoặc trở thành:
\(x^2 + 2x + 1 + \frac{1}{2} = (x + 1)^2 + \frac{1}{2}\)
Quay trở lại biểu thức ban đầu, ta có:
\(2[(x + 1)^2 + \frac{1}{2}] = 2(x + 1)^2 + 2 \times \frac{1}{2} = 2(x + 1)^2 + 1\)
Vì \( (x + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \(x\), nên giá trị nhỏ nhất của \( 2(x + 1)^2 \) là 0, đạt được khi \( x = -1 \).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 1 = 1 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 1 \).
Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \((x – 1)(x – 3) + 11\)
Ta nhân hai biểu thức trong ngoặc trước:
\((x – 1)(x – 3) = x^2 – 3x – x + 3 = x^2 – 4x + 3\)
Biểu thức trở thành:
\(x^2 – 4x + 3 + 11 = x^2 – 4x + 14\)
Bây giờ, ta biến \(x^2 – 4x\) thành dạng \( (x – a)^2 = x^2 – 2ax + a^2 \).
So sánh \( -4x \) với \( -2ax \), ta có: \( -4 = -2a \), suy ra \( a = 2 \).
Vậy, ta cần có \( a^2 = 2^2 = 4 \).
Ta tách hạng tử 14 thành \( 4 + 10 \).
Biểu thức trở thành:
\(x^2 – 4x + 4 + 10 = (x – 2)^2 + 10\)
Vì \( (x – 2)^2 \geq 0 \) với mọi \(x\), nên giá trị nhỏ nhất của \( (x – 2)^2 \) là 0, đạt được khi \( x = 2 \).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 10 = 10 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 10 \).
Bài 4: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 – 2x + y^2 – 4y + 6\)
Bài này có hai biến là \(x\) và \(y\). Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử chứa \(x\) lại với nhau và các hạng tử chứa \(y\) lại với nhau, sau đó áp dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất cho từng nhóm.
Ta có: \((x^2 – 2x) + (y^2 – 4y) + 6\)
Với nhóm \(x^2 – 2x\), ta cần thêm \( (-2/2)^2 = (-1)^2 = 1 \) để tạo thành bình phương.
Với nhóm \(y^2 – 4y\), ta cần thêm \( (-4/2)^2 = (-2)^2 = 4 \) để tạo thành bình phương.
Ta tách số 6 thành \( 1 + 4 + 1 \).
Biểu thức trở thành:
\((x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) + 1\)
Sử dụng hằng đẳng thức, ta có:
\((x – 1)^2 + (y – 2)^2 + 1\)
Vì \( (x – 1)^2 \geq 0 \) và \( (y – 2)^2 \geq 0 \) với mọi \(x, y\), nên giá trị nhỏ nhất của \( (x – 1)^2 \) là 0 (khi \(x = 1\)) và giá trị nhỏ nhất của \( (y – 2)^2 \) là 0 (khi \(y = 2\)).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 0 + 1 = 1 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 1 \).
Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(7 + x^2 + y^2 – 2(x + y)\)
Ta sắp xếp lại biểu thức và phá ngoặc:
\(x^2 – 2x + y^2 – 2y + 7\)
Nhóm các hạng tử theo biến:
\((x^2 – 2x) + (y^2 – 2y) + 7\)
Với nhóm \(x^2 – 2x\), ta cần thêm \( (-2/2)^2 = (-1)^2 = 1 \).
Với nhóm \(y^2 – 2y\), ta cần thêm \( (-2/2)^2 = (-1)^2 = 1 \).
Ta tách số 7 thành \( 1 + 1 + 5 \).
Biểu thức trở thành:
\((x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1) + 5\)
Sử dụng hằng đẳng thức, ta có:
\((x – 1)^2 + (y – 1)^2 + 5\)
Vì \( (x – 1)^2 \geq 0 \) và \( (y – 1)^2 \geq 0 \) với mọi \(x, y\), nên giá trị nhỏ nhất của \( (x – 1)^2 \) là 0 (khi \(x = 1\)) và giá trị nhỏ nhất của \( (y – 1)^2 \) là 0 (khi \(y = 1\)).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 0 + 5 = 5 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 5 \).
Bài 6: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2 + x^2 + y^2 + 2(x + y)\)
Ta sắp xếp lại biểu thức và phá ngoặc:
\(x^2 + 2x + y^2 + 2y + 2\)
Nhóm các hạng tử theo biến:
\((x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) + 2\)
Với nhóm \(x^2 + 2x\), ta cần thêm \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \).
Với nhóm \(y^2 + 2y\), ta cần thêm \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \).
Ta tách số 2 thành \( 1 + 1 \).
Biểu thức trở thành:
\((x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1)\)
Sử dụng hằng đẳng thức, ta có:
\((x + 1)^2 + (y + 1)^2\)
Vì \( (x + 1)^2 \geq 0 \) và \( (y + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \(x, y\), nên giá trị nhỏ nhất của \( (x + 1)^2 \) là 0 (khi \(x = -1\)) và giá trị nhỏ nhất của \( (y + 1)^2 \) là 0 (khi \(y = -1\)).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 0 = 0 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 \).
Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 – 4x + y^2 + 2y – 10\)
Ta nhóm các hạng tử theo biến:
\((x^2 – 4x) + (y^2 + 2y) – 10\)
Với nhóm \(x^2 – 4x\), ta cần thêm \( (-4/2)^2 = (-2)^2 = 4 \).
Với nhóm \(y^2 + 2y\), ta cần thêm \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \).
Ta tách số -10 thành \( -4 – 1 – 5 \).
Biểu thức trở thành:
\((x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) – 5\)
Sử dụng hằng đẳng thức, ta có:
\((x – 2)^2 + (y + 1)^2 – 5\)
Vì \( (x – 2)^2 \geq 0 \) và \( (y + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \(x, y\), nên giá trị nhỏ nhất của \( (x – 2)^2 \) là 0 (khi \(x = 2\)) và giá trị nhỏ nhất của \( (y + 1)^2 \) là 0 (khi \(y = -1\)).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 0 – 5 = -5 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( -5 \).
Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x – 2xy + 2x^2 + y^2\)
Biểu thức này có vẻ hơi khác một chút. Ta sắp xếp lại và cố gắng nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện bình phương.
\(2x^2 + y^2 + 2x – 2xy\)
Ta có thể thử nhóm \(y^2 – 2xy\), nhưng nó không tạo thành bình phương ngay. Hãy thử nhóm các hạng tử theo \(x\).
\(2x^2 + (2x – 2xy) + y^2\)
Ta có thể nhận thấy rằng \(y^2 – 2xy\) là một phần của \( (y – x)^2 = y^2 – 2xy + x^2 \).
Hãy thử tách \(2x^2\) thành \(x^2 + x^2\).
\(x^2 + x^2 + y^2 – 2xy + 2x\)
Ta có thể nhóm \(x^2 + y^2 – 2xy\) lại:
\((x^2 – 2xy + y^2) + x^2 + 2x\)
\((x – y)^2 + x^2 + 2x\)
Bây giờ ta cần xử lý phần \(x^2 + 2x\). Ta thêm 1 vào để tạo thành \( (x+1)^2 \).
\((x – y)^2 + (x^2 + 2x + 1) – 1\)
\((x – y)^2 + (x + 1)^2 – 1\)
Vì \( (x – y)^2 \geq 0 \) và \( (x + 1)^2 \geq 0 \), nên giá trị nhỏ nhất của chúng lần lượt là 0. Tuy nhiên, \(x\) và \(y\) có thể độc lập nhau, nên \(x-y\) và \(x+1\) có thể đồng thời bằng 0 khi \(x = -1\) và \(y = x = -1\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 0 – 1 = -1 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( -1 \).
Bài 9: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 + 2y^2 + 2xy + 5 – 2y\)
Ta sắp xếp lại biểu thức:
\(x^2 + 2xy + 2y^2 – 2y + 5\)
Ta có thể nhận thấy \(x^2 + 2xy\) là một phần của \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
Ta tách \(2y^2\) thành \(y^2 + y^2\).
\(x^2 + 2xy + y^2 + y^2 – 2y + 5\)
Nhóm \(x^2 + 2xy + y^2\):
\((x + y)^2 + y^2 – 2y + 5\)
Bây giờ, ta tập trung vào phần \(y^2 – 2y + 5\). Ta biến \(y^2 – 2y\) thành dạng \( (y-a)^2 \).
So sánh \( -2y \) với \( -2ay \), ta có \( a = 1 \). Vậy ta cần \( a^2 = 1^2 = 1 \).
Ta tách 5 thành \( 1 + 4 \).
\(y^2 – 2y + 1 + 4 = (y – 1)^2 + 4\)
Thay vào biểu thức ban đầu, ta có:
\((x + y)^2 + (y – 1)^2 + 4\)
Vì \( (x + y)^2 \geq 0 \) và \( (y – 1)^2 \geq 0 \), nên giá trị nhỏ nhất của \( (x + y)^2 \) là 0 (khi \( x + y = 0 \)) và giá trị nhỏ nhất của \( (y – 1)^2 \) là 0 (khi \( y = 1 \)).
Khi \( y = 1 \), để \( x + y = 0 \), ta cần \( x + 1 = 0 \), tức là \( x = -1 \).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0 + 0 + 4 = 4 \).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 4 \).
Các em thấy đó, chìa khóa để giải quyết các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất này chính là việc nhận diện và vận dụng khéo léo hằng đẳng thức \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \). Khi gặp một biểu thức, hãy thử sắp xếp lại, nhóm các hạng tử và “biến hình” chúng thành dạng bình phương cộng với một hằng số. Luôn nhớ rằng bình phương của một số thực thì luôn không âm.
Các em hãy xem lại bài giảng và thực hành thêm các bài tập tương tự nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
(*)
Ta đặt:
\(A=3x^{2}+3-5x\)
\(=3.(x^{2}-5/3x+1)\)
\(=3.[x^{2}-2.x. 5/6+(5/6)^{2}+1-(5/6)^{2}]\)
\(=3.[(x-5/6)^{2}+11/36]\)
\(=3.(x-5/6)^{2}+11/6\)
Do \(3.(x-5/6)^{2}\ge0AAx\)
\(->3.(x-5/6)^{2}+11/6\ge 11/6>0AAx\)
\(->A\ge11/6\)
\(->A_{min}=11/6\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x-5/6=0->x=5/6\)
Vậy \(A_{min}=11/6\) khi \(x=5/6\)
(*)
Ta đặt: \(A=4x+2x^{2}+3\)
\(=2x^{2}+4x+2+1\)
\(=2.(x^{2}+2.x.1+1^{2})+1\)
\(=2.(x+1)^{2}+1\)
Do \(2.(x+1)^{2}\ge0AAx\)
\(->2.(x+1)^{2}+1\ge1>0AAx\)
\(->A\ge1\)
\(->A_{min}=1\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \((x+1)^{2}=0\)
\(->x+1=0\)
\(x=-1\)
Vậy \(A_{min}=1\) khi \(x=-1\)
(*) Ta đặt: \(A=(x-1).(x-3)+11\)
\(=x^{2}-3x-x+3+11\)
\(=x^{2}-4x+14\)
\(=x^{2}-2.x.2+2^{2}+10\)
\(=(x-2)^{2}+10\)
Do \((x-2)^{2}\ge0AAx\)
\(->(x-2)^{2}+10\ge10>0AAx\)
\(->A\ge10\)
\(->A_{min}=10\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x-2=0->x=2\)
Vậy \(A_{min}=10\) khi \(x=2\)
(*)
Ta đặt: \(A=x^{2}-2x+y^{2}-4y+6\)
\(=(x^{2}-2.x.1+1^{2})+(y^{2}-2.y.2+2^{2})+1\)
\(=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+1\)
Do \((x-1)^{2}\ge0AAx;(y-2)^{2}\ge0AAy\)
\(->(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+1\ge1AAx,y\)
\(->A\ge1\)
\(->A_{min}=1\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x-1=0\) và \(y-2=0\)
\(x=1\) và \(y=2\)
Vậy \(A_{min}=1\) khi \(x=1\) và \(y=2\)
(*)
Ta đặt: \(A=7+x^{2}+y^{2}-2.(x+y)\)
\(=x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1+5\)
\(=(x^{2}-2.x.1+1^{2})+(y^{2}-2.y.1+1^{2})+5\)
\(=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+5\)
Do \((x-1)^{2}\ge0AAx;(y-1)^{2}\ge0AAy\)
\(->(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+5\ge5AAx,y\)
\(->A\ge5\)
\(->A_{min}=5\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x-1=0\) và \(y-1=0\)
\(x=1\) và \(y=1\)
\(->x=y=1\)
Vậy \(A_{min}=5\) khi \(x=y=1\)
(*) Ta đặt: \(A=2+x^{2}+y^{2}+2.(x+y)\)
\(=2+x^{2}+y^{2}+2x+2y\)
\(=(x^{2}+2x+1)+(y^{2}+2y+1)\)
\(=(x^{2}+2.x.1+1^{2])+(y^{2}+2.y.1+1^{2})\)
\(=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}\)
Do \((x+1)^{2}\ge0AAx;(y+1)^{2}\ge0AAy\)
\(->(x+1)^{2}+(y+1)^{2}\ge0AAx,y\)
\(->A\ge0\)
\(->A_{min}=0\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x+1=0\) và \(y+1=0\)
\(x=-1\) và \(y=-1\)
\(->x=y=-1\)
Vậy \(A_{min}=0\) khi \(x=y=-1\)
(*) Ta đặt: \(A=x^{2}-4x+y^{2}+2y-10\)
\(=(x^{2}-2.x.2+2^{2})+(y^{2}+2.y.1+1^{2})-10-2^{2}-1\)
\(=(x-2)^{2}+(y+1)^{2}-15\)
Do \((x-2)^{2}\ge0AAx;(y+1)^{2}\ge0AAy\)
\(->(x-2)^{2}+(y+1)^{2}-15\ge-15AAx,y\)
\(->A\ge-15\)
\(->A_{min}=-15\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x-2=0\) và \(y+1=0\)
\(x=2\) và \(y=-1\)
Vậy \(A_{min}=-15\) khi \(x=2\) và \(y=-1\)
(*) Ta đặt: \(Z=2x-2xy+2x^{2}+y^{2}\)
\(=(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2x+1-1\)
\(=(x-y)^{2}+(x^{2}+2.x.1+1^{2})-1\)
\(=(x-y)^{2}+(x+1)^{2}-1\)
Do \((x-y)^{2}\ge0AAx,y;(x+1)^{2}\ge0AAx\)
\(->(x-y)^{2}+(x+1)^{2}-1\ge-1\)
\(->Z\ge-1\)
\(->Z_{min}=-1\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x-y=0\) và \(x+1=0\)
\(x=y\) và \(x=-1\)
\(y=-1\) và \(x=-1\)
\(->x=y=-1\)
Vậy \(Z_{min}=-1\) khi \(x=y=-1\)
(*) Ta đặt: \(Z=x^{2}+2y^{2}+2xy+5-2y\)
\(=(x^{2}+2xy+y^{2})+(y^{2}-2y+1)+4\)
\(=(x+y)^{2}+(y-1)^{2}+4\)
Do \((x+y)^{2}\ge0AAx,y;(y-1)^{2}\ge0AAy\)
\(->(x+y)^{2}+(y-1)^{2}+4\ge4AAx,y\)
\(->Z\ge4\)
\(->Z_{min}=4\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x+y=0\) và \(y-1=0\)
\(x=-y\) và \(y=1\)
\(x=-1\) và \(y=1\)
Vậy \(Z_{min}=4\) khi \(x=-1\) và \(y=1\)
\(1)\) \(3x^2 + 3 – 5x\)
\(= 3\left(x^2 – \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}\right) + \frac{11}{12}\)
\(= 3\left(x – \frac{5}{6}\right)^2 + \frac{11}{12}\)
Ta có: \(3\left(x – \frac{5}{6}\right)^2 \geq 0\)
\(\to 3\left(x – \frac{5}{6}\right)^2 + \frac{11}{12} \geq \frac{11}{12}\)
\(\to \operatorname{Min} = \frac{11}{12}\text{ khi }x – \frac{5}{6} = 0 \to x = \frac{5}{6}\)
\(2)\) \(4x + 2x^2 + 3\)
\(= 2(x^2 + 2x + 1) + 1\)
\(= 2(x + 1)^2 + 1\)
Ta có: \(2(x + 1)^2 \geq 0\)
\(\to 2(x + 1)^2 + 1 \geq 1\)
\(\to \operatorname{Min} = 1\text{ khi }x + 1 = 0 \to x = -1\)
\(3)\) \((x – 1)(x – 3) + 11\)
\(= x^2 – 4x + 3 + 11\)
\(= x^2 – 4x + 14\)
\(= (x^2 – 4x + 4) + 10\)
\(= (x – 2)^2 + 10\)
Ta có: \((x – 2)^2 \geq 0\)
\(\to (x – 2)^2 + 10 \geq 10\)
\(\to \operatorname{Min} = 10\text{ khi }x – 2 = 0 \to x = 2\)
\(4)\) \(x^2 – 2x + y^2 – 4y + 6\)
\(= (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) + 1\)
\(= (x – 1)^2 + (y – 2)^2 + 1\)
Ta có: \((x – 1)^2 \geq 0\) và \((y – 2)^2 \geq 0\)
\(\to (x – 1)^2 + (y – 2)^2 + 1 \geq 1\)
\(\to \operatorname{Min} = 1\text{ khi }\left\{\begin{aligned} &x – 1 = 0 \\ &y – 2 = 0 \end{aligned}\right. \to \left\{\begin{aligned} &x = 1 \\ &y = 2 \end{aligned}\right.\)
\(5)\) \(7 + x^2 + y^2 – 2(x + y)\)
\(= x^2 – 2x + y^2 – 2y + 7\)
\(= (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1) + 5\)
\(= (x – 1)^2 + (y – 1)^2 + 5\)
Ta có: \((x – 1)^2 \geq 0\) và \((y – 1)^2 \geq 0\)
\(\to (x – 1)^2 + (y – 1)^2 + 5 \geq 5\)
\(\to \operatorname{Min} = 5\text{ khi }\left\{\begin{aligned} &x – 1 = 0 \\ &y – 1 = 0 \end{aligned}\right. \to \left\{\begin{aligned} &x = 1 \\ &y = 1 \end{aligned}\right.\)
\(6)\) \(2 + x^2 + y^2 + 2(x + y)\)
\(= x^2 + 2x + y^2 + 2y + 2\)
\(= (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + 0\)
\(= (x + 1)^2 + (y + 1)^2\)
Ta có: \((x + 1)^2 \geq 0\) và \((y + 1)^2 \geq 0\)
\(\to (x + 1)^2 + (y + 1)^2 \geq 0\)
\(\to \operatorname{Min} = 0\text{ khi }\left\{\begin{aligned} &x + 1 = 0 \\ &y + 1 = 0 \end{aligned}\right. \to \left\{\begin{aligned} &x = -1 \\ &y = -1 \end{aligned}\right.\)
\(7)\) \(x^2 – 4x + y^2 + 2y – 10\)
\(= (x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) – 15\)
\(= (x – 2)^2 + (y + 1)^2 – 15\)
Ta có: \((x – 2)^2 \geq 0\) và \((y + 1)^2 \geq 0\)
\(\to (x – 2)^2 + (y + 1)^2 – 15 \geq -15\)
\(\to \operatorname{Min} = -15\text{ khi }\left\{\begin{aligned} &x – 2 = 0 \\ &y + 1 = 0 \end{aligned}\right. \to \left\{\begin{aligned} &x = 2 \\ &y = -1 \end{aligned}\right.\)
\(8)\) \(2x – 2xy + 2x^2 + y^2\)
\(= (x^2 – 2xy + y^2) + (x^2 + 2x + 1) – 1\)
\(= (x – y)^2 + (x + 1)^2 – 1\)
Ta có: \((x – y)^2 \geq 0\) và \((x + 1)^2 \geq 0\)
\(\to (x – y)^2 + (x + 1)^2 – 1 \geq -1\)
\(\to \operatorname{Min} = -1\text{ khi }\left\{\begin{aligned} &x – y = 0 \\ &x + 1 = 0 \end{aligned}\right. \to \left\{\begin{aligned} &x = -1 \\ &y = -1 \end{aligned}\right.\)
\(9)\) \(x^2 + 2y^2 + 2xy + 5 – 2y\)
\(= (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 – 2y + 1) + 4\)
\(= (x + y)^2 + (y – 1)^2 + 4\)
Ta có: \((x + y)^2 \geq 0\) và \((y – 1)^2 \geq 0\)
\(\to (x + y)^2 + (y – 1)^2 + 4 \geq 4\)
\(\to \operatorname{Min} = 4\text{ khi }\left\{\begin{aligned} &x + y = 0 \\ &y – 1 = 0 \end{aligned}\right. \to \left\{\begin{aligned} &x = -1 \\ &y = 1 \end{aligned}\right.\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment