Tính tổng các giá trị `n` nguyên sao cho `(n+5)` $\vdots$ `(2n-1)`
Đề bài: Tính tổng các giá trị \(n\) nguyên sao cho \((n+5)\) chia hết cho \((2n-1)\).
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của phép chia hết.
Lời giải chi tiết:
Ta có \((n+5)\) chia hết cho \((2n-1)\).
Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho \(n+5 = k(2n-1)\).
Để tìm các giá trị của \(n\), chúng ta sẽ biến đổi biểu thức chia hết này để làm xuất hiện một số không phụ thuộc vào \(n\).
Từ giả thiết \((2n-1)\) chia hết \((n+5)\).
Chúng ta có thể nhân \((n+5)\) với 2 để có hệ số của \(n\) giống với \(2n-1\):
\((2n-1)\) chia hết cho \(2(n+5)\)
Hay \((2n-1)\) chia hết cho \((2n+10)\).
Mặt khác, chúng ta luôn có \((2n-1)\) chia hết cho chính nó, tức là \((2n-1)\) chia hết cho \((2n-1)\).
Bây giờ, chúng ta sẽ lấy hiệu của hai biểu thức mà \((2n-1)\) chia hết:
Vì \((2n-1)\) chia hết cho \((2n+10)\) và \((2n-1)\) chia hết cho \((2n-1)\),
nên \((2n-1)\) cũng sẽ chia hết cho \((2n+10) – (2n-1)\).
Thực hiện phép trừ:
\((2n+10) – (2n-1) = 2n+10 – 2n + 1 = 11\).
Vậy, chúng ta suy ra rằng \((2n-1)\) phải là một ước của \(11\).
Các ước nguyên của \(11\) là \(1, -1, 11, -11\).
Bây giờ chúng ta sẽ xét từng trường hợp để tìm các giá trị của \(n\):
Trường hợp 1: \(2n-1 = 1\)
\(2n = 1+1\)
\(2n = 2\)
\(n = 1\)
Kiểm tra: Với \(n=1\), \(n+5 = 1+5=6\), \(2n-1 = 2(1)-1=1\). Ta thấy \(6\) chia hết cho \(1\). Vậy \(n=1\) là một giá trị hợp lệ.
Trường hợp 2: \(2n-1 = -1\)
\(2n = -1+1\)
\(2n = 0\)
\(n = 0\)
Kiểm tra: Với \(n=0\), \(n+5 = 0+5=5\), \(2n-1 = 2(0)-1=-1\). Ta thấy \(5\) chia hết cho \(-1\). Vậy \(n=0\) là một giá trị hợp lệ.
Trường hợp 3: \(2n-1 = 11\)
\(2n = 11+1\)
\(2n = 12\)
\(n = 6\)
Kiểm tra: Với \(n=6\), \(n+5 = 6+5=11\), \(2n-1 = 2(6)-1=11\). Ta thấy \(11\) chia hết cho \(11\). Vậy \(n=6\) là một giá trị hợp lệ.
Trường hợp 4: \(2n-1 = -11\)
\(2n = -11+1\)
\(2n = -10\)
\(n = -5\)
Kiểm tra: Với \(n=-5\), \(n+5 = -5+5=0\), \(2n-1 = 2(-5)-1=-11\). Ta thấy \(0\) chia hết cho \(-11\). Vậy \(n=-5\) là một giá trị hợp lệ.
Các giá trị nguyên của \(n\) thỏa mãn điều kiện đề bài là \(-5, 0, 1, 6\).
Cuối cùng, chúng ta cần tính tổng các giá trị này:
Tổng \(S = (-5) + 0 + 1 + 6 = -5 + 7 = 2\).
Vậy, tổng các giá trị nguyên của \(n\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(2\).
Đáp số: \(2\)
Các em nhớ nhé, khi làm bài toán chia hết, việc biến đổi để đưa về “một số không đổi chia hết cho biểu thức chứa n” là một kỹ thuật rất quan trọng đó! Nếu có thắc mắc gì, cứ hỏi thầy nhé.
\((n+5)\vdots(2n-1)\)
\(=>(2n+10)\vdots(2n-1)\)
\(=>(2n-1+11)\vdots(2n-1)\)
\(=>11\vdots(2n-1)\)
\(=>2n-1\in Ư(11)\)
\(=>2n-1\in{-11;-1;1;11}\)
\(=>2n\in{-10;0;2;12}\)
\(=>n\in{-5;0;1;6}\) (thỏa mãn \(n\inZZ\))
Vậy tổng các giá trị \(n\) nguyên thỏa mãn là: \(-5+0+1+6=2\)
Đáp án:
\(2\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\((n+5)\ \vdots\ (2n-1)\)
\(⇒2(n+5)\ \vdots\ (2n-1)\)
\(⇒2n+10\ \vdots\ (2n-1)\)
Mà:
\(2n+10-(2n-1)=11\)
\(⇒11\ \vdots\ (2n-1)\)
\(⇒2n-1\in{-11;-1;1;11}\)
\(⇔\left[\begin{matrix}2n-1=-11\\ 2n-1=-1\\ 2n-1=1\\ 2n-1=11\end{matrix}\right.\)
\(⇔\left[\begin{matrix}n=-5\\ n=0\\ n=1\\ n=6\end{matrix}\right.\)
Tổng các giá trị nguyên của \(n\) là:
\(-5+0+1+6=2\)
Vậy tổng cần tìm là \(2\).
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment