Bài toán:

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất của mỗi đội là không đổi).

Phân tích bài toán:

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ các thông tin mà bài toán cung cấp:

• Thời gian hoàn thành công việc khi hai đội làm chung: 24 ngày.
• Mối quan hệ về năng suất giữa hai đội: Đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II mỗi ngày.
• Mục tiêu của bài toán: Tìm thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội nếu làm một mình.

Đặt ẩn và xây dựng phương trình:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt ẩn cho năng suất hoặc thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội.

Gọi năng suất của đội II trong một ngày là \(x\) (phần công việc/ngày).

Vì đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II, nên năng suất của đội I trong một ngày là \(1.5x\) (phần công việc/ngày).

Năng suất làm việc chung của hai đội trong một ngày sẽ là tổng năng suất của hai đội: \(x + 1.5x = 2.5x\) (phần công việc/ngày).

Toàn bộ đoạn đường là 1 đơn vị công việc. Khi hai đội làm chung, họ hoàn thành công việc trong 24 ngày. Điều này có nghĩa là tổng năng suất của hai đội nhân với thời gian làm chung sẽ bằng 1 đơn vị công việc.

Ta có phương trình: \( (2.5x) \times 24 = 1 \)

Giải phương trình:

Chúng ta sẽ giải phương trình vừa thiết lập để tìm giá trị của \(x\):

\( 60x = 1 \)

\( x = \frac{1}{60} \)

Vậy, năng suất của đội II trong một ngày là \(\frac{1}{60}\) phần công việc.

Năng suất của đội I trong một ngày là \(1.5x = 1.5 \times \frac{1}{60} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{60} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}\) phần công việc.

Tính thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội khi làm một mình:

Thời gian để hoàn thành công việc của một đội sẽ bằng tổng công việc chia cho năng suất của đội đó.

Đối với đội II:

Thời gian để đội II làm xong một mình là: \(\frac{1 \text{ (đoạn đường)}}{\frac{1}{60} \text{ (phần công việc/ngày)}} = 1 \times \frac{60}{1} = 60\) ngày.

Đối với đội I:

Thời gian để đội I làm xong một mình là: \(\frac{1 \text{ (đoạn đường)}}{\frac{1}{40} \text{ (phần công việc/ngày)}} = 1 \times \frac{40}{1} = 40\) ngày.

Kết luận:

Vậy, nếu làm một mình thì:

Đội I sẽ hoàn thành đoạn đường đó trong 40 ngày.

Đội II sẽ hoàn thành đoạn đường đó trong 60 ngày.

Các em thấy đấy, bài toán tuy có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta biết cách đặt ẩn và xây dựng phương trình dựa trên mối quan hệ về năng suất và thời gian, việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Hãy nhớ ôn tập kỹ dạng bài này nhé!