Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về ánh xạ (hay còn gọi là hàm số) trong Toán rời rạc, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình đại học nhưng cũng có nền tảng từ những kiến thức về hàm số mà chúng ta đã học ở phổ thông.

Đề bài: Có bao nhiêu ánh xạ từ tập có 3 phần tử đến tập có 2 phần tử ?

A. 6

B. 8

C. 9

D. 12

—

Phân tích và Giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về ánh xạ (function) và cách xác định số lượng ánh xạ giữa hai tập hợp.

1. Định nghĩa Ánh xạ (Function):

Một ánh xạ \(f\) từ tập \(A\) đến tập \(B\), ký hiệu là \(f: A \to B\), là một quy tắc gán mỗi phần tử của tập \(A\) (tập xác định – domain) với duy nhất một phần tử của tập \(B\) (tập đích – codomain).

2. Xác định các tập hợp trong bài toán:

Chúng ta có hai tập hợp:

• Tập \(A\) (tập xác định) có 3 phần tử. Gọi \(A = \{a_1, a_2, a_3\}\).
• Tập \(B\) (tập đích) có 2 phần tử. Gọi \(B = \{b_1, b_2\}\).

3. Cách đếm số ánh xạ:

Để xây dựng một ánh xạ \(f: A \to B\), chúng ta cần xác định xem mỗi phần tử của tập \(A\) sẽ được ánh xạ đến phần tử nào của tập \(B\). Vì mỗi phần tử của \(A\) phải được gán với duy nhất một phần tử của \(B\), chúng ta sẽ xem xét lần lượt từng phần tử của \(A\):

• Đối với phần tử \(a_1 \in A\):
  
  Nó có thể được gán cho \(b_1\) hoặc \(b_2\) trong tập \(B\).
  
  Vậy, có 2 lựa chọn cho ảnh của \(a_1\).
• Đối với phần tử \(a_2 \in A\):
  
  Tương tự, nó có thể được gán cho \(b_1\) hoặc \(b_2\) trong tập \(B\). Lựa chọn này độc lập với lựa chọn của \(a_1\).
  
  Vậy, có 2 lựa chọn cho ảnh của \(a_2\).
• Đối với phần tử \(a_3 \in A\):
  
  Cũng giống như \(a_1\) và \(a_2\), nó có thể được gán cho \(b_1\) hoặc \(b_2\) trong tập \(B\). Lựa chọn này cũng độc lập với các lựa chọn trước đó.
  
  Vậy, có 2 lựa chọn cho ảnh của \(a_3\).

Vì các lựa chọn cho từng phần tử của tập \(A\) là độc lập với nhau, chúng ta sử dụng Quy tắc nhân (Multiplication Principle) để tìm tổng số ánh xạ:

Tổng số ánh xạ = (Số lựa chọn cho \(a_1\)) \(\times\) (Số lựa chọn cho \(a_2\)) \(\times\) (Số lựa chọn cho \(a_3\))

Tổng số ánh xạ = \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\).

4. Công thức tổng quát:

Nếu tập \(A\) có \(m\) phần tử (ký hiệu \(|A| = m\)) và tập \(B\) có \(n\) phần tử (ký hiệu \(|B| = n\)), thì số lượng ánh xạ từ \(A\) đến \(B\) là \(n^m\).

Trong bài toán của chúng ta:

• Số phần tử của tập \(A\) là \(m = 3\).
• Số phần tử của tập \(B\) là \(n = 2\).

Vậy, số ánh xạ là \(n^m = 2^3 = 8\).

Kết luận:

Dựa trên phân tích trên, có 8 ánh xạ từ tập có 3 phần tử đến tập có 2 phần tử.

So sánh với các lựa chọn đã cho:

A. 6

B. 8

C. 9

D. 12

Đáp án chính xác là B. 8.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này! Chúc các em học tốt!