Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán cơ bản nhưng rất quan trọng trong lĩnh vực Toán rời rạc, đó là bài toán về việc đếm số lượng xâu nhị phân.

Đề bài:

Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 8?

A. \(2^7\)

B. \(2^8\)

C. \(8^2\)

D. \(8!\)

Phân tích và lời giải:

Để xây dựng một xâu nhị phân có độ dài 8, chúng ta cần điền vào 8 vị trí. Hãy hình dung 8 ô trống liên tiếp:

_ _ _ _ _ _ _ _

1. Hiểu “xâu nhị phân”:

Một “xâu nhị phân” (binary string) là một chuỗi các ký tự mà mỗi ký tự chỉ có thể là 0 hoặc 1. Chúng ta gọi các ký tự này là “bit”.

2. Số lựa chọn cho mỗi vị trí:

Mỗi vị trí trong xâu nhị phân có thể là một trong hai giá trị:

– 0 (bit 0)
– 1 (bit 1)

Do đó, mỗi vị trí có 2 lựa chọn độc lập.

3. Áp dụng Quy tắc nhân (Multiplication Principle):

Vì có 8 vị trí và lựa chọn cho mỗi vị trí là độc lập với các vị trí khác, chúng ta sẽ áp dụng Quy tắc nhân (Multiplication Principle) trong tổ hợp để tìm tổng số cách tạo thành xâu.

Số lựa chọn cho vị trí thứ nhất: 2 (có thể là 0 hoặc 1)
Số lựa chọn cho vị trí thứ hai: 2 (có thể là 0 hoặc 1)
Số lựa chọn cho vị trí thứ ba: 2 (có thể là 0 hoặc 1)
Số lựa chọn cho vị trí thứ tư: 2 (có thể là 0 hoặc 1)
Số lựa chọn cho vị trí thứ năm: 2 (có thể là 0 hoặc 1)
Số lựa chọn cho vị trí thứ sáu: 2 (có thể là 0 hoặc 1)
Số lựa chọn cho vị trí thứ bảy: 2 (có thể là 0 hoặc 1)
Số lựa chọn cho vị trí thứ tám: 2 (có thể là 0 hoặc 1)

Tổng số xâu nhị phân độ dài 8 sẽ là tích của số lựa chọn cho mỗi vị trí:

\(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8\)

Giá trị của \(2^8\) là \(256\).

Kết luận:

Vậy, có \(2^8\) xâu nhị phân độ dài 8.

Đối chiếu với các phương án đã cho, chúng ta thấy đáp án đúng là B. \(2^8\).

Nếu đề bài hỏi xâu nhị phân độ dài n, thì số xâu sẽ là \(2^n\). Đây là một công thức rất cơ bản và quan trọng mà các em cần nhớ!

Chúc các em học tốt!