Chào các em học sinh lớp 11!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến chuyển động ném xiên trong môn Vật lý, nhưng được đặt dưới góc độ ứng dụng của Toán học, cụ thể là các công thức lượng giác. Đây là một bài toán thực tế về cú đánh bóng golf, giúp các em thấy được sự liên hệ giữa Toán học và đời sống.

Phân tích bài toán:

Chúng ta được cho công thức tính khoảng cách bay của quả bóng golf theo phương ngang:

\(d=\frac{v_0^2sin2\alpha}{g}\)

Các giá trị đã biết là:

• Vận tốc ban đầu của quả bóng: \(v_0=50 \text{ (m/s)}\)
• Gia tốc trọng trường: \(g=9,8 \text{ (m/s^2)}\)
• Mối quan hệ của góc đánh: \(tan\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
• Điều kiện của góc \(\alpha\): \(0\leq\alpha\leq45^o\)

Yêu cầu là tính khoảng cách \(d\) và làm tròn đến hàng đơn vị.

Bước 1: Tìm giá trị của \(sin2\alpha\) từ \(tan\alpha\).

Chúng ta biết công thức lượng giác nhân đôi liên hệ giữa \(sin2\alpha\) và \(tan\alpha\) là:

\(sin2\alpha = \frac{2tan\alpha}{1+tan^2\alpha}\)

Đầu tiên, ta tính \(tan^2\alpha\):

\(tan^2\alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{2^2}{(\sqrt{5})^2} = \frac{4}{5}\)

Tiếp theo, ta tính \(1+tan^2\alpha\):

\(1+tan^2\alpha = 1+\frac{4}{5} = \frac{5}{5}+\frac{4}{5} = \frac{9}{5}\)

Bây giờ, thay các giá trị vào công thức của \(sin2\alpha\):

\(sin2\alpha = \frac{2 \times \frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{9}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{9}{5}}\)

Để đơn giản hóa biểu thức này, ta nhân với nghịch đảo của mẫu số:

\(sin2\alpha = \frac{4}{\sqrt{5}} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{9\sqrt{5}}\)

Để biểu thức đẹp hơn (khử căn ở mẫu), ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{5}\):

\(sin2\alpha = \frac{20\sqrt{5}}{9\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{9 \times 5} = \frac{20\sqrt{5}}{45}\)

Rút gọn phân số:

\(sin2\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}\)

(Lưu ý: Vì \(0 \leq \alpha \leq 45^o\), nên \(0 \leq 2\alpha \leq 90^o\). Trong khoảng này, \(sin2\alpha\) luôn dương, phù hợp với kết quả ta vừa tìm được.)

Bước 2: Thay các giá trị vào công thức tính khoảng cách \(d\).

Công thức: \(d=\frac{v_0^2sin2\alpha}{g}\)

Thay \(v_0=50\), \(g=9,8\) và \(sin2\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}\) vào công thức:

\(d = \frac{(50)^2 \times \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)}{9.8}\)

\(d = \frac{2500 \times \frac{4\sqrt{5}}{9}}{9.8}\)

\(d = \frac{\frac{10000\sqrt{5}}{9}}{9.8}\)

\(d = \frac{10000\sqrt{5}}{9 \times 9.8}\)

\(d = \frac{10000\sqrt{5}}{88.2}\)

Bước 3: Tính toán giá trị xấp xỉ và làm tròn.

Sử dụng máy tính, ta có \(\sqrt{5} \approx 2.236067977\)

\(d \approx \frac{10000 \times 2.236067977}{88.2}\)

\(d \approx \frac{22360.67977}{88.2}\)

\(d \approx 253.522446 \text{ (m)}\)

Theo yêu cầu của bài toán, chúng ta cần làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Vì chữ số hàng thập phân đầu tiên là 5, nên ta làm tròn lên:

\(d \approx 254 \text{ (m)}\)

Kết luận:

Vậy, khoảng cách mà quả bóng golf di chuyển được theo phương nằm ngang là 254 mét.

Qua bài toán này, các em đã ôn lại các công thức lượng giác nhân đôi và thấy được ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế. Hãy luôn nhớ rằng Toán học là công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta hiểu và mô tả thế giới xung quanh!

Chúc các em học tốt!