Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình lượng giác, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tổng các nghiệm của một phương trình trên một khoảng cho trước và sau đó tìm giá trị của \(m\).

Đề bài: Tổng các nghiệm phương trình \(tan(2x-\frac{π}{12})=1\) trên khoảng \([-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]\) bằng \(-\frac{π}{m}\) . Khi đó \(m\) bằng.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình đã cho là: \(tan(2x-\frac{π}{12})=1\)
Chúng ta biết rằng \(tan(\alpha) = 1\) khi \(\alpha = \frac{π}{4} + kπ\), với \(k\) là một số nguyên.

Áp dụng vào phương trình của chúng ta, ta có:

\(2x-\frac{π}{12} = \frac{π}{4} + kπ\)

Bước 2: Tìm biểu thức của \(x\)

Từ phương trình trên, chúng ta sẽ tìm \(x\):
\(2x = \frac{π}{4} + \frac{π}{12} + kπ\)
Để cộng hai phân số đầu tiên, chúng ta cần quy đồng mẫu số:
\(\frac{π}{4} + \frac{π}{12} = \frac{3π}{12} + \frac{π}{12} = \frac{4π}{12} = \frac{π}{3}\)
Vậy, ta có:
\(2x = \frac{π}{3} + kπ\)
Chia cả hai vế cho 2, ta được nghiệm tổng quát của phương trình:
\(x = \frac{π}{6} + \frac{kπ}{2}\), với \(k \in \mathbb{Z}\)

Bước 3: Tìm các nghiệm thuộc khoảng đã cho

Khoảng đề bài cho là \([-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]\). Chúng ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong khoảng này.

\(-\frac{π}{2} \le x \le \frac{π}{2}\)
Thay biểu thức của \(x\) vào bất đẳng thức:
\(-\frac{π}{2} \le \frac{π}{6} + \frac{kπ}{2} \le \frac{π}{2}\)

Để tìm \(k\), chúng ta sẽ trừ \(\frac{π}{6}\) từ tất cả các vế của bất đẳng thức:
\(-\frac{π}{2} – \frac{π}{6} \le \frac{kπ}{2} \le \frac{π}{2} – \frac{π}{6}\)
Tính toán từng vế:
Vế trái: \(-\frac{3π}{6} – \frac{π}{6} = -\frac{4π}{6} = -\frac{2π}{3}\)
Vế phải: \(\frac{3π}{6} – \frac{π}{6} = \frac{2π}{6} = \frac{π}{3}\)
Vậy, bất đẳng thức trở thành:
\(-\frac{2π}{3} \le \frac{kπ}{2} \le \frac{π}{3}\)

Chia tất cả các vế cho \(\pi\) (vì \(\pi > 0\) nên chiều bất đẳng thức không đổi):
\(-\frac{2}{3} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{3}\)
Nhân tất cả các vế với 2:
\(-\frac{4}{3} \le k \le \frac{2}{3}\)

Vì \(k\) là một số nguyên, các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn bất đẳng thức trên là:
\(k = -1\) và \(k = 0\)

Bước 4: Tính các nghiệm cụ thể

Với \(k = -1\):
\(x_1 = \frac{π}{6} + \frac{(-1)π}{2} = \frac{π}{6} – \frac{π}{2} = \frac{π}{6} – \frac{3π}{6} = -\frac{2π}{6} = -\frac{π}{3}\)

Với \(k = 0\):
\(x_2 = \frac{π}{6} + \frac{(0)π}{2} = \frac{π}{6}\)

Cả hai nghiệm \(-\frac{π}{3}\) và \(\frac{π}{6}\) đều nằm trong khoảng \([-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]\). Cụ thể, \(-\frac{π}{2} \approx -1.57\), \(-\frac{π}{3} \approx -1.05\), \(\frac{π}{6} \approx 0.52\), \(\frac{π}{2} \approx 1.57\). Các nghiệm này đều hợp lệ.

Bước 5: Tính tổng các nghiệm

Tổng các nghiệm là \(S = x_1 + x_2\):
\(S = -\frac{π}{3} + \frac{π}{6}\)
Quy đồng mẫu số:
\(S = -\frac{2π}{6} + \frac{π}{6} = -\frac{π}{6}\)

Bước 6: Tìm giá trị của \(m\)

Theo đề bài, tổng các nghiệm bằng \(-\frac{π}{m}\). Chúng ta vừa tính được tổng là \(-\frac{π}{6}\).
Vậy ta có:
\(-\frac{π}{m} = -\frac{π}{6}\)
Từ đó suy ra \(m = 6\).

Kết luận:

Giá trị của \(m\) là \(6\).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải phương trình lượng giác, đặc biệt là cách tìm nghiệm trong một khoảng cho trước. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!