Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hệ phương trình. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc tuyển sinh đại học, yêu cầu kỹ năng biến đổi đại số và tư duy hàm số.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.

Từ phương trình thứ nhất, biểu thức \(\sqrt{xy+3y}\) yêu cầu \(xy+3y \ge 0\). Điều này tương đương với \(y(x+3) \ge 0\).

Từ phương trình thứ hai, biểu thức \(\sqrt{y-2}\) yêu cầu \(y-2 \ge 0\), tức là \(y \ge 2\).

Vì \(y \ge 2\), nên \(y\) là số dương. Do đó, từ \(y(x+3) \ge 0\), chúng ta suy ra \(x+3 \ge 0\), tức là \(x \ge -3\).

Tiếp theo, ta xét trường hợp \(x=-3\). Nếu \(x=-3\), phương trình thứ nhất trở thành:

\((-3+3y+3)\sqrt{(-3)y+3y} = y(3(-3)+2y+9)\)

\((3y)\sqrt{0} = y(-9+2y+9)\)

\(0 = y(2y)\)

\(0 = 2y^2\)

Từ đây ta có \(y=0\). Tuy nhiên, điều kiện xác định là \(y \ge 2\). Vì vậy, \(y=0\) không thỏa mãn. Điều này có nghĩa là \(x \neq -3\).

Vậy, điều kiện xác định của hệ phương trình là \(x > -3\) và \(y \ge 2\).

Bước 2: Rút gọn phương trình thứ nhất để tìm mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\).

Phương trình thứ nhất là \((x+3y+3)\sqrt{xy+3y}=y(3x+2y+9)\).

Nhận thấy rằng \(xy+3y = y(x+3)\).

Đặt \(A = x+3\) và \(B = y\). Theo điều kiện xác định, \(A > 0\) và \(B \ge 2\).

Thay \(x = A-3\) và \(y = B\) vào phương trình thứ nhất:

\((A-3+3B+3)\sqrt{B(A)} = B(3(A-3)+2B+9)\)

\((A+3B)\sqrt{AB} = B(3A-9+2B+9)\)

\((A+3B)\sqrt{AB} = B(3A+2B)\)

Vì \(B \ge 2\), nên \(B \neq 0\). Ta có thể chia cả hai vế cho \(B\):

\((A+3B)\dfrac{\sqrt{AB}}{B} = 3A+2B\)

\((A+3B)\sqrt{\dfrac{A}{B}} = 3A+2B\)

Đặt \(k = \sqrt{\dfrac{A}{B}}\). Vì \(A > 0\) và \(B > 0\), nên \(k\) phải là số dương. Từ đây, ta có \(\dfrac{A}{B} = k^2\), hay \(A = k^2B\).

Thay \(A = k^2B\) vào phương trình:

\((k^2B+3B)k = 3(k^2B)+2B\)

Rút gọn \(B\) ở cả hai vế (vì \(B \neq 0\)):

\((k^2+3)k = 3k^2+2\)

\(k^3+3k = 3k^2+2\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, ta được phương trình bậc ba:

\(k^3-3k^2+3k-2 = 0\)

Chúng ta sẽ tìm nghiệm nguyên của phương trình này (là các ước của -2: \(\pm 1, \pm 2\)).

• Với \(k=1\): \(1^3-3(1)^2+3(1)-2 = 1-3+3-2 = -1 \neq 0\).
• Với \(k=2\): \(2^3-3(2)^2+3(2)-2 = 8-12+6-2 = 0\).

Vậy \(k=2\) là một nghiệm của phương trình. Điều này có nghĩa là \((k-2)\) là một nhân tử của đa thức. Ta chia đa thức \((k^3-3k^2+3k-2)\) cho \((k-2)\):

\((k^3-3k^2+3k-2) = (k-2)(k^2-k+1) = 0\)

Xét nhân tử bậc hai \(k^2-k+1\). Delta của nó là \(\Delta = (-1)^2-4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0\). Vì \(\Delta < 0\) và hệ số của \(k^2\) dương (là 1), nên \(k^2-k+1 > 0\) với mọi số thực \(k\). Do đó, phương trình \(k^2-k+1=0\) không có nghiệm thực.

Vậy, nghiệm thực duy nhất của phương trình là \(k=2\).

Từ \(k=2\), chúng ta có \(\sqrt{\dfrac{A}{B}} = 2\). Bình phương hai vế, ta được \(\dfrac{A}{B} = 4\), hay \(A = 4B\).

Thay trở lại \(A=x+3\) và \(B=y\), ta được mối liên hệ:

\(x+3 = 4y\)

\(x = 4y-3\).

Bước 3: Thay mối liên hệ \(x=4y-3\) vào phương trình thứ hai.

Phương trình thứ hai là \(4(x-8)^3-(x+15)\sqrt{y-2}=20(11-4y)\).

Thay \(x=4y-3\) vào phương trình:

\(4((4y-3)-8)^3 – ((4y-3)+15)\sqrt{y-2} = 20(11-4y)\)

\(4(4y-11)^3 – (4y+12)\sqrt{y-2} = 20(11-4y)\)

Đặt \(u = y-2\). Do \(y \ge 2\), nên \(u \ge 0\). Từ đây, \(y = u+2\). Thay \(y=u+2\) vào phương trình:

\(4(4(u+2)-11)^3 – (4(u+2)+12)\sqrt{u} = 20(11-4(u+2))\)

\(4(4u+8-11)^3 – (4u+8+12)\sqrt{u} = 20(11-4u-8)\)

\(4(4u-3)^3 – (4u+20)\sqrt{u} = 20(3-4u)\)

Chia cả hai vế cho 4:

\((4u-3)^3 – (u+5)\sqrt{u} = 5(3-4u)\)

\((4u-3)^3 – (u+5)\sqrt{u} = -5(4u-3)\)

Chuyển hạng tử \( -5(4u-3) \) sang vế trái:

\((4u-3)^3 + 5(4u-3) = (u+5)\sqrt{u}\)

Bước 4: Giải phương trình bằng cách sử dụng hàm số đơn điệu.

Xét hàm số \(f(t) = t^3+5t\).

Phương trình ta vừa tìm được có thể viết lại dưới dạng \(f(4u-3) = (u+5)\sqrt{u}\).

Để rút gọn vế phải, đặt \(v = \sqrt{u}\). Vì \(u \ge 0\), nên \(v \ge 0\). Từ đó, \(u = v^2\).

Thay \(u=v^2\) vào vế phải:

\((v^2+5)v = v^3+5v\).

Và \(v^3+5v\) chính là \(f(v)\).

Vậy phương trình trở thành \(f(4v^2-3) = f(v)\).

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số \(f(t) = t^3+5t\).

Đạo hàm của \(f(t)\) là \(f'(t) = 3t^2+5\).

Vì \(t^2 \ge 0\) với mọi \(t\), nên \(3t^2 \ge 0\). Do đó \(3t^2+5 > 0\) với mọi \(t\) thuộc \(\mathbb{R}\).

Vì \(f'(t) > 0\), hàm số \(f(t)\) là một hàm số đồng biến nghiêm ngặt trên \(\mathbb{R}\). Điều này có nghĩa là nếu \(f(A)=f(B)\), thì \(A=B\).

Áp dụng tính chất này vào phương trình \(f(4v^2-3) = f(v)\), ta suy ra:

\(4v^2-3 = v\)

Chuyển vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\(4v^2-v-3 = 0\)

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(v = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\):

\(v = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4(4)(-3)}}{2(4)}\)

\(v = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+48}}{8}\)

\(v = \dfrac{1 \pm \sqrt{49}}{8}\)

\(v = \dfrac{1 \pm 7}{8}\)

Từ đây ta có hai nghiệm cho \(v\):

• \(v_1 = \dfrac{1+7}{8} = \dfrac{8}{8} = 1\)
• \(v_2 = \dfrac{1-7}{8} = \dfrac{-6}{8} = -\dfrac{3}{4}\)

Vì \(v = \sqrt{u}\), \(v\) phải là một số không âm. Do đó, chúng ta loại bỏ nghiệm \(v_2 = -\dfrac{3}{4}\).

Vậy, nghiệm hợp lệ duy nhất cho \(v\) là \(v=1\).

Bây giờ chúng ta tìm giá trị của \(u\):

\(v=1 \implies \sqrt{u}=1 \implies u=1\).

Tiếp theo, tìm giá trị của \(y\):

\(u = y-2 \implies 1 = y-2 \implies y=3\).

Cuối cùng, tìm giá trị của \(x\) bằng cách sử dụng mối liên hệ \(x=4y-3\) đã tìm ở Bước 2:

\(x = 4(3)-3 = 12-3 = 9\).

Vậy, nghiệm tiềm năng của hệ phương trình là \((x,y)=(9,3)\).

Bước 5: Kiểm tra lại nghiệm.

Chúng ta cần kiểm tra xem cặp \((x,y)=(9,3)\) có thỏa mãn các điều kiện xác định và cả hai phương trình gốc hay không.

Điều kiện xác định là \(x > -3\) và \(y \ge 2\).

Với \((9,3)\): \(9 > -3\) (đúng) và \(3 \ge 2\) (đúng). Điều kiện xác định được thỏa mãn.

Thay \((x,y)=(9,3)\) vào phương trình thứ nhất:

\((9+3(3)+3)\sqrt{9(3)+3(3)} = (9+9+3)\sqrt{27+9} = 21\sqrt{36} = 21 \cdot 6 = 126\).

\(y(3x+2y+9) = 3(3(9)+2(3)+9) = 3(27+6+9) = 3(42) = 126\).

Hai vế bằng nhau, vậy phương trình thứ nhất được thỏa mãn.

Thay \((x,y)=(9,3)\) vào phương trình thứ hai:

\(4(9-8)^3-(9+15)\sqrt{3-2} = 4(1)^3-24\sqrt{1} = 4-24 = -20\).

\(20(11-4(3)) = 20(11-12) = 20(-1) = -20\).

Hai vế bằng nhau, vậy phương trình thứ hai được thỏa mãn.

Vì cả hai phương trình đều được thỏa mãn và nghiệm nằm trong điều kiện xác định, nên \((x,y)=(9,3)\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Kết luận:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x,y)=(9,3)\).

Các em lưu ý rằng việc đặt ẩn phụ hợp lý và sử dụng tính đơn điệu của hàm số là những kỹ thuật rất mạnh để giải quyết các bài toán hệ phương trình phức tạp. Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách tiếp cận dạng bài này!