Bài tập: Một con bọ chét có khối lượng \(1mg\) có thể bật nhảy thẳng đứng lên độ cao tối đa \(0,2m\) từ mặt đất. Bỏ qua sức cản của không khí, lấy \(g = 9.8m / s ^ 2\) Chọn gốc thế năng tại mặt đất. (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân)

a) Trong quá trình nhảy lên cả động năng và thế năng cùng giảm.
b) Cơ năng của bọ chét được bảo toàn.
c) Tốc độ của bọ chét ngay khi bật nhảy là \(1,98 (m/s)\)
d) khi lên tới điểm cao nhất bọ chét có tốc độ là 0.

Phân tích chi tiết:

Trước hết, chúng ta cần đổi đơn vị khối lượng của bọ chét về đơn vị chuẩn (kg):
\(m = 1 mg = 1 \times 10^{-6} kg\)

Độ cao tối đa mà bọ chét đạt được là:
\(h_{max} = 0,2 m\)

Gia tốc trọng trường:
\(g = 9.8 m / s ^ 2\)

Gốc thế năng được chọn tại mặt đất, nên thế năng ban đầu (\(h = 0\)) bằng 0.

Xét mệnh đề a): Trong quá trình nhảy lên cả động năng và thế năng cùng giảm.

Khi bọ chét nhảy lên, độ cao \(h\) của nó tăng dần. Theo công thức tính thế năng hấp dẫn \(E_p = mgh\), vì \(m\), \(g\) là các hằng số dương và \(h\) tăng, nên thế năng của bọ chét sẽ tăng lên.
Đồng thời, khi lên cao, do tác dụng của trọng lực, tốc độ của bọ chét sẽ giảm dần. Theo công thức tính động năng \(E_d = \frac{1}{2}mv^2\), vì \(m\) là hằng số dương và \(v\) giảm, nên động năng của bọ chét sẽ giảm.
Do đó, mệnh đề “Trong quá trình nhảy lên cả động năng và thế năng cùng giảm” là SAI.
Trong quá trình nhảy lên, thế năng tăng, động năng giảm.

Xét mệnh đề b): Cơ năng của bọ chét được bảo toàn.

Bài toán cho biết “Bỏ qua sức cản của không khí”. Trong trường hợp này, chỉ có trọng lực thực hiện công. Do đó, cơ năng của hệ (bọ chét và Trái Đất) là đại lượng được bảo toàn.
Cơ năng \(E = E_d + E_p\).
Khi bọ chét bay lên, động năng giảm và thế năng tăng, nhưng tổng của chúng (cơ năng) không đổi.
Do đó, mệnh đề này là ĐÚNG.

Xét mệnh đề c): Tốc độ của bọ chét ngay khi bật nhảy là \(1,98 (m/s)\)

Ngay khi bật nhảy, chúng ta có thể xem là điểm ban đầu của chuyển động, với độ cao \(h_1 = 0\) (vì chọn gốc thế năng tại mặt đất). Tốc độ ban đầu là \(v_1\).
Thế năng ban đầu: \(E_{p1} = mgh_1 = m \times g \times 0 = 0\).
Động năng ban đầu: \(E_{d1} = \frac{1}{2}mv_1^2\).
Cơ năng ban đầu: \(E_1 = E_{d1} + E_{p1} = \frac{1}{2}mv_1^2\).

Tại điểm cao nhất, độ cao là \(h_{max} = 0,2m\). Tại đây, theo mệnh đề d) chúng ta sẽ chứng minh tốc độ bằng 0, nên động năng tại điểm cao nhất bằng 0.
Thế năng tại điểm cao nhất: \(E_{p2} = mgh_{max}\).
Động năng tại điểm cao nhất: \(E_{d2} = 0\).
Cơ năng tại điểm cao nhất: \(E_2 = E_{d2} + E_{p2} = mgh_{max}\).

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng \(E_1 = E_2\):
\(\frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_{max}\)

Chúng ta có thể rút gọn \(m\) ở cả hai vế:
\(\frac{1}{2}v_1^2 = gh_{max}\)

Suy ra \(v_1^2 = 2gh_{max}\).
\(v_1 = \sqrt{2gh_{max}}\)

Thay số vào:
\(v_1 = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2}\)
\(v_1 = \sqrt{3.92}\)
\(v_1 \approx 1.97989…\)

Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, ta được \(v_1 \approx 1.98 m/s\).
Do đó, mệnh đề này là ĐÚNG.

Xét mệnh đề d): Khi lên tới điểm cao nhất bọ chét có tốc độ là 0.

Tại điểm cao nhất của quỹ đạo thẳng đứng, bọ chét tạm dừng lại trong một khoảnh khắc trước khi bắt đầu rơi xuống. Tại điểm này, tốc độ của nó bằng 0.
Nếu tốc độ còn lớn hơn 0 tại điểm cao nhất, điều đó có nghĩa là nó vẫn còn khả năng tiếp tục bay lên cao hơn. Vì \(0,2m\) là độ cao tối đa, nên tốc độ tại đó phải bằng 0.
Do đó, mệnh đề này là ĐÚNG.

Tổng kết:

a) SAI
b) ĐÚNG
c) ĐÚNG
d) ĐÚNG