Chúng ta có đề bài như sau:
Biết \(cosx=\frac{1}{3}\) và \(-\frac{π}{2}<x<0\).
Hãy xác định tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) \(sin(\frac{π}{2}-x)>0\)
b) \(sin2x=\frac{4\sqrt{2}}{9}\)
c) \(cos(x+\frac{4π}{3})=-\frac{1+3\sqrt{6}}{6}\)
d) \(sinx+sin3x=-\frac{8\sqrt{2}}{27}\).

Đầu tiên, chúng ta cần phân tích điều kiện của đề bài.
Chúng ta có \(cosx=\frac{1}{3}\).
Và \(-\frac{π}{2}<x<0\). Điều này có nghĩa là góc \(x\) nằm trong góc phần tư thứ IV. Trong góc phần tư thứ IV, cosin dương, sin âm.

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét từng mệnh đề.

Mệnh đề a) \(sin(\frac{π}{2}-x)>0\)

Chúng ta áp dụng công thức lượng giác quen thuộc: \(sin(\frac{π}{2}-x) = cosx\).
Từ đề bài, ta biết \(cosx=\frac{1}{3}\).
Do đó, \(sin(\frac{π}{2}-x) = \frac{1}{3}\).
Vì \(\frac{1}{3} > 0\), nên mệnh đề a) là Đúng.

Mệnh đề b) \(sin2x=\frac{4\sqrt{2}}{9}\)

Để tính \(sin2x\), chúng ta cần biết giá trị của \(sinx\).
Chúng ta sử dụng công thức cơ bản: \(sin^2x + cos^2x = 1\).
Suy ra, \(sin^2x = 1 – cos^2x\).
Thay \(cosx=\frac{1}{3}\) vào, ta có:
\(sin^2x = 1 – (\frac{1}{3})^2 = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\).
Vì \(-\frac{π}{2}<x<0\), góc \(x\) nằm trong góc phần tư thứ IV, nên \(sinx\) sẽ âm.
Do đó, \(sinx = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Bây giờ, chúng ta tính \(sin2x\) bằng công thức: \(sin2x = 2sinxcosx\).
Thay giá trị của \(sinx\) và \(cosx\) vào, ta có:
\(sin2x = 2 \times (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \times (\frac{1}{3})\).
\(sin2x = -\frac{4\sqrt{2}}{9}\).

So sánh với mệnh đề b), ta thấy \(-\frac{4\sqrt{2}}{9} \neq \frac{4\sqrt{2}}{9}\).
Vậy, mệnh đề b) là Sai.

Mệnh đề c) \(cos(x+\frac{4π}{3})=-\frac{1+3\sqrt{6}}{6}\)

Chúng ta sử dụng công thức cộng góc cho cosin: \(cos(A+B) = cosAcosB – sinAsinB\).
Ở đây, \(A=x\) và \(B=\frac{4π}{3}\).
Chúng ta cần biết giá trị của \(cos(\frac{4π}{3})\) và \(sin(\frac{4π}{3})\).
Góc \(\frac{4π}{3}\) nằm trong góc phần tư thứ III.
\(cos(\frac{4π}{3}) = cos(\pi + \frac{π}{3}) = -cos(\frac{π}{3}) = -\frac{1}{2}\).
\(sin(\frac{4π}{3}) = sin(\pi + \frac{π}{3}) = -sin(\frac{π}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Áp dụng công thức cộng góc:
\(cos(x+\frac{4π}{3}) = cosx \times cos(\frac{4π}{3}) – sinx \times sin(\frac{4π}{3})\).
Thay các giá trị đã biết vào:
\(cos(x+\frac{4π}{3}) = (\frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{2}) – (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \times (-\frac{\sqrt{3}}{2})\).
\(cos(x+\frac{4π}{3}) = -\frac{1}{6} – \frac{2\sqrt{6}}{6}\).
\(cos(x+\frac{4π}{3}) = \frac{-1-2\sqrt{6}}{6}\).

So sánh với mệnh đề c), ta thấy \(\frac{-1-2\sqrt{6}}{6} \neq -\frac{1+3\sqrt{6}}{6}\).
Vậy, mệnh đề c) là Sai.

Mệnh đề d) \(sinx+sin3x=-\frac{8\sqrt{2}}{27}\)

Để tính \(sin3x\), chúng ta sử dụng công thức: \(sin3x = 3sinx – 4sin^3x\).
Chúng ta đã có \(sinx = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Thay vào công thức \(sin3x\):
\(sin3x = 3 \times (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) – 4 \times (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^3\).
\(sin3x = -2\sqrt{2} – 4 \times (-\frac{8 \times 2\sqrt{2}}{27})\).
\(sin3x = -2\sqrt{2} – 4 \times (-\frac{16\sqrt{2}}{27})\).
\(sin3x = -2\sqrt{2} + \frac{64\sqrt{2}}{27}\).
Để cộng hai số hạng này, ta quy đồng mẫu số:
\(sin3x = -\frac{54\sqrt{2}}{27} + \frac{64\sqrt{2}}{27}\).
\(sin3x = \frac{10\sqrt{2}}{27}\).

Bây giờ, chúng ta tính \(sinx+sin3x\):
\(sinx+sin3x = -\frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{10\sqrt{2}}{27}\).
Quy đồng mẫu số:
\(sinx+sin3x = -\frac{18\sqrt{2}}{27} + \frac{10\sqrt{2}}{27}\).
\(sinx+sin3x = -\frac{8\sqrt{2}}{27}\).

So sánh với mệnh đề d), ta thấy \(-\frac{8\sqrt{2}}{27} = -\frac{8\sqrt{2}}{27}\).
Vậy, mệnh đề d) là Đúng.

Tóm lại:
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng

Các em hãy xem lại từng bước giải và kiểm tra lại các phép tính của mình. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!