Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập trắc nghiệm đúng/sai về lượng giác. Đây là một dạng bài rất hay để củng cố kiến thức về giá trị lượng giác của góc và các công thức biến đổi.

Đề bài: Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(sin \alpha=-\frac{5}{13}\) và \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).

Hãy xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai:

a) \(cos \alpha>0\)
b) \(tan \alpha=-\frac{5}{12}\)
c) \(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{-17\sqrt{2}}{26}\)
d) \(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha)=239\)

Chúng ta sẽ cùng phân tích và giải quyết từng phần một nhé!

Phân tích chung:

Trước hết, chúng ta cần xác định rõ vị trí của góc \(\alpha\). Đề bài cho \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\). Điều này có nghĩa là góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ III.

Trong góc phần tư thứ III:

• Giá trị của sin \(\alpha\) là âm. (Đề bài cho \(sin \alpha = -\frac{5}{13}\) là phù hợp).
• Giá trị của cos \(\alpha\) là âm.
• Giá trị của tan \(\alpha\) và cot \(\alpha\) là dương.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính các giá trị lượng giác còn lại của \(\alpha\) để thuận tiện cho việc kiểm tra các mệnh đề sau.

Ta có công thức cơ bản: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\)

Thay \(sin \alpha = -\frac{5}{13}\) vào, ta được:

\((-\frac{5}{13})^2 + cos^2 \alpha = 1\)
\(\frac{25}{169} + cos^2 \alpha = 1\)
\(cos^2 \alpha = 1 – \frac{25}{169}\)
\(cos^2 \alpha = \frac{169 – 25}{169}\)
\(cos^2 \alpha = \frac{144}{169}\)

Suy ra \(cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}\).

Vì \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ III nên \(cos \alpha < 0\).

Vậy, \(cos \alpha = -\frac{12}{13}\).

Tiếp theo, ta tính \(tan \alpha\):

\(tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}\).

Giá trị này dương, phù hợp với việc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ III.

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét từng mệnh đề:

a) Mệnh đề: \(cos \alpha>0\)

Từ phân tích trên, chúng ta đã tính được \(cos \alpha = -\frac{12}{13}\).

Vì \(-\frac{12}{13} < 0\), nên mệnh đề \(cos \alpha > 0\) là SAI.

b) Mệnh đề: \(tan \alpha=-\frac{5}{12}\)

Từ phân tích trên, chúng ta đã tính được \(tan \alpha = \frac{5}{12}\).

Vì \(\frac{5}{12} \neq -\frac{5}{12}\), nên mệnh đề \(tan \alpha = -\frac{5}{12}\) là SAI.

c) Mệnh đề: \(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{-17\sqrt{2}}{26}\)

Để kiểm tra mệnh đề này, chúng ta sử dụng công thức cộng cho cosin: \(cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B\).

Áp dụng với \(A = \frac{\pi}{4}\) và \(B = \alpha\):

\(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha) = cos \frac{\pi}{4} cos \alpha + sin \frac{\pi}{4} sin \alpha\)

Chúng ta đã biết các giá trị:

• \(cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(cos \alpha = -\frac{12}{13}\)
• \(sin \alpha = -\frac{5}{13}\)

Thay các giá trị này vào công thức:

\(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha) = (\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{12}{13}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{5}{13})\)
\(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{-12\sqrt{2}}{26} + \frac{-5\sqrt{2}}{26}\)
\(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{-12\sqrt{2} – 5\sqrt{2}}{26}\)
\(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{-17\sqrt{2}}{26}\)

Kết quả này trùng khớp với giá trị trong mệnh đề.

Vậy, mệnh đề \(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{-17\sqrt{2}}{26}\) là ĐÚNG.

d) Mệnh đề: \(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha)=239\)

Để kiểm tra mệnh đề này, trước hết chúng ta cần tính \(tan(2\alpha)\).

Ta có công thức nhân đôi cho tan: \(tan(2\alpha) = \frac{2 tan \alpha}{1 – tan^2 \alpha}\).

Chúng ta đã tính được \(tan \alpha = \frac{5}{12}\).

Thay vào công thức:

\(tan(2\alpha) = \frac{2 \times \frac{5}{12}}{1 – (\frac{5}{12})^2}\)
\(tan(2\alpha) = \frac{\frac{10}{12}}{1 – \frac{25}{144}}\)
\(tan(2\alpha) = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{144 – 25}{144}}\)
\(tan(2\alpha) = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}}\)
\(tan(2\alpha) = \frac{5}{6} \times \frac{144}{119}\)
\(tan(2\alpha) = 5 \times \frac{24}{119}\) (vì \(144 \div 6 = 24\))
\(tan(2\alpha) = \frac{120}{119}\)

Tiếp theo, chúng ta sử dụng công thức cộng cho tan: \(tan(A+B) = \frac{tan A + tan B}{1 – tan A tan B}\).

Áp dụng với \(A = \frac{\pi}{4}\) và \(B = 2\alpha\):

\(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha) = \frac{tan \frac{\pi}{4} + tan(2\alpha)}{1 – tan \frac{\pi}{4} tan(2\alpha)}\)

Chúng ta biết \(tan \frac{\pi}{4} = 1\) và \(tan(2\alpha) = \frac{120}{119}\).

Thay các giá trị này vào công thức:

\(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha) = \frac{1 + \frac{120}{119}}{1 – 1 \times \frac{120}{119}}\)
\(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha) = \frac{\frac{119 + 120}{119}}{\frac{119 – 120}{119}}\)
\(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha) = \frac{\frac{239}{119}}{\frac{-1}{119}}\)
\(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha) = \frac{239}{119} \times (-\frac{119}{1})\)
\(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha) = -239\)

Kết quả chúng ta tính được là \(-239\), nhưng mệnh đề cho là \(239\).

Vậy, mệnh đề \(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha)=239\) là SAI.

Tóm tắt kết quả:

• a) \(cos \alpha>0\) – SAI
• b) \(tan \alpha=-\frac{5}{12}\) – SAI
• c) \(cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{-17\sqrt{2}}{26}\) – ĐÚNG
• d) \(tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha)=239\) – SAI

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn về cách xác định dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư, cũng như vận dụng thành thạo các công thức cộng và công thức nhân đôi trong lượng giác. Chúc các em học tốt!