Chào các em học sinh lớp 9,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về chuyển động khá thú vị và thường gặp trong các kì thi nhé. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải phân tích kĩ các giả thiết và thiết lập hệ phương trình để giải quyết.

Đề bài: Trên quãng đường AB, một xe máy đi từ A đến B cùng lúc đó một xe ô tô đi từ B đến A, sau 4h hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thì xe ô tô đến A sớm hơn xe máy đến B là 6h. Tính thời gian mỗi xe đi hết quãng đường AB.

—

Phân tích bài toán và đặt ẩn:

Để giải quyết bài toán này một cách hệ thống, chúng ta sẽ đặt các đại lượng cần thiết:

– Gọi quãng đường AB là \(S\) (đơn vị km).
– Gọi vận tốc của xe máy là \(v_1\) (km/h).
– Gọi vận tốc của xe ô tô là \(v_2\) (km/h).
– Gọi thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là \(t_1\) (giờ). Như vậy, \(t_1 = \frac{S}{v_1}\).
– Gọi thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB là \(t_2\) (giờ). Như vậy, \(t_2 = \frac{S}{v_2}\).

Thiết lập các phương trình từ giả thiết:

1. Dựa vào thông tin “sau 4h hai xe gặp nhau”:

Khi hai xe đi ngược chiều và gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được chính là quãng đường AB.

– Quãng đường xe máy đi được sau 4 giờ là \(4v_1\).
– Quãng đường xe ô tô đi được sau 4 giờ là \(4v_2\).
Do đó, ta có phương trình thứ nhất:

\(4v_1 + 4v_2 = S\)

Chia cả hai vế cho 4, ta được:

\(v_1 + v_2 = \frac{S}{4}\)     (1)

Chúng ta có thể biến đổi phương trình (1) theo \(t_1\) và \(t_2\). Vì \(v_1 = \frac{S}{t_1}\) và \(v_2 = \frac{S}{t_2}\), thay vào (1) ta được:

\(\frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2} = \frac{S}{4}\)

Chia cả hai vế cho \(S\) (vì \(S \neq 0\)), ta được:

\(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}\)     (A)

2. Dựa vào thông tin “xe ô tô đến A sớm hơn xe máy đến B là 6h”:

Điều này có nghĩa là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB (tức \(t_1\)) nhiều hơn thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB (tức \(t_2\)) là 6 giờ.

Ta có phương trình thứ hai:

\(t_1 – t_2 = 6\)     (B)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta có một hệ gồm hai phương trình với hai ẩn \(t_1\) và \(t_2\):

1) \(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}\)
2) \(t_1 – t_2 = 6\)

Từ phương trình (B), ta rút ra được \(t_1\) theo \(t_2\):

\(t_1 = t_2 + 6\)

Thay biểu thức của \(t_1\) vào phương trình (A), ta được:

\(\frac{1}{t_2 + 6} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}\)

Quy đồng mẫu số và cộng các phân số ở vế trái:

\(\frac{t_2}{(t_2 + 6)t_2} + \frac{t_2 + 6}{t_2(t_2 + 6)} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{t_2 + (t_2 + 6)}{t_2(t_2 + 6)} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{2t_2 + 6}{t_2^2 + 6t_2} = \frac{1}{4}\)

Thực hiện phép nhân chéo:

\(4(2t_2 + 6) = 1(t_2^2 + 6t_2)\)

\(8t_2 + 24 = t_2^2 + 6t_2\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về phương trình bậc hai:

\(t_2^2 + 6t_2 – 8t_2 – 24 = 0\)

\(t_2^2 – 2t_2 – 24 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai với ẩn \(t_2\). Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử (tìm hai số có tổng là -2 và tích là -24, đó là -6 và 4):

\(t_2^2 – 6t_2 + 4t_2 – 24 = 0\)

\(t_2(t_2 – 6) + 4(t_2 – 6) = 0\)

\((t_2 – 6)(t_2 + 4) = 0\)

Từ đó, ta có hai trường hợp:

– Trường hợp 1: \(t_2 – 6 = 0 \implies t_2 = 6\)

– Trường hợp 2: \(t_2 + 4 = 0 \implies t_2 = -4\)

Vì thời gian không thể là số âm, nên ta loại nghiệm \(t_2 = -4\).
Vậy, thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB là \(t_2 = 6\) giờ.

Bây giờ, chúng ta tìm thời gian xe máy đi hết quãng đường AB bằng cách thay \(t_2 = 6\) vào phương trình \(t_1 = t_2 + 6\):

\(t_1 = 6 + 6 = 12\)

Vậy, thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là \(t_1 = 12\) giờ.

Kiểm tra lại kết quả:

– Xe máy mất 12h, xe ô tô mất 6h. Đúng là xe ô tô đến sớm hơn xe máy 6h (vì \(12 – 6 = 6\)).
– Nếu xe máy mất 12h để đi hết quãng đường, thì trong 4h đi được \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) quãng đường AB.
– Nếu xe ô tô mất 6h để đi hết quãng đường, thì trong 4h đi được \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) quãng đường AB.
– Tổng quãng đường hai xe đi được trong 4h là \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\) quãng đường AB. Điều này phù hợp với giả thiết hai xe gặp nhau sau 4h.

Kết luận:

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là 12 giờ.
Thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB là 6 giờ.

Hy vọng bài giải này giúp các em hiểu rõ cách phân tích và giải quyết dạng toán chuyển động này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.