Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12, đó là tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, nên các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(1; 2; 3)\) và mặt phẳng \((P): x – 2y + 2z – 5 = 0\). Hãy tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((P)\).

Hướng dẫn giải:

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chúng ta sẽ áp dụng công thức đã học.

Bước 1: Nhắc lại công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách từ điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) được tính theo công thức:

\(d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Bước 2: Xác định các hệ số và tọa độ điểm cho bài toán cụ thể.

Từ đề bài, ta có:

• Điểm \(A\) có tọa độ là \((x_0; y_0; z_0) = (1; 2; 3)\).
• Mặt phẳng \((P)\) có phương trình là \(x – 2y + 2z – 5 = 0\).

So sánh với dạng tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta xác định được các hệ số:

• \(A = 1\) (hệ số của \(x\))
• \(B = -2\) (hệ số của \(y\))
• \(C = 2\) (hệ số của \(z\))
• \(D = -5\) (hệ số tự do)

Bước 3: Thay thế các giá trị vào công thức.

Thay \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\), \(z_0 = 3\), \(A = 1\), \(B = -2\), \(C = 2\), \(D = -5\) vào công thức khoảng cách:

\(d(A, (P)) = \frac{|(1)(1) + (-2)(2) + (2)(3) + (-5)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}\)

Bước 4: Thực hiện các phép tính.

Tử số:

\(|(1)(1) + (-2)(2) + (2)(3) + (-5)| = |1 – 4 + 6 – 5|\)

\(= |(1 + 6) – (4 + 5)|\)

\(= |7 – 9|\)

\(= |-2|\)

\(= 2\)

Mẫu số:

\(\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4}\)

\(= \sqrt{9}\)

\(= 3\)

Bước 5: Kết luận khoảng cách.

Vậy, khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) là:

\(d(A, (P)) = \frac{2}{3}\)

Lời giải chi tiết:

Cho điểm \(A(1; 2; 3)\) và mặt phẳng \((P): x – 2y + 2z – 5 = 0\).

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Trong bài toán này, ta có:

• \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\), \(z_0 = 3\)
• \(A = 1\), \(B = -2\), \(C = 2\), \(D = -5\)

Thay các giá trị này vào công thức, ta được:

\(d(A, (P)) = \frac{|(1)(1) + (-2)(2) + (2)(3) + (-5)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}\)

\(d(A, (P)) = \frac{|1 – 4 + 6 – 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}}\)

\(d(A, (P)) = \frac{|-2|}{\sqrt{9}}\)

\(d(A, (P)) = \frac{2}{3}\)

Vậy, khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) là \(\frac{2}{3}\).

Các em nhớ ôn tập kỹ công thức và cách xác định các hệ số nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!