Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế rất thú vị, sử dụng kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và tối ưu hóa để giúp bạn Mạnh sắp xếp lịch tập thể dục một cách hiệu quả nhất nhé!

Bài toán của chúng ta như sau:
Trong 1 tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng 2 môn: đạp xe và tập cử tạ trong phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50000 đồng / giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7000 calo 1 tuần. Hãy tính giúp Mạnh số giờ đạp xe 1 tuần trong đó Mạnh muốn chi phí luyện tập ít tiền nhất?

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng bước một.

Bước 1: Đặt các biến số

Để giải quyết bài toán, chúng ta cần đặt các biến số để biểu diễn các đại lượng chưa biết.

Gọi \(x\) là số giờ đạp xe trong 1 tuần \((x \ge 0)\).
Gọi \(y\) là số giờ tập cử tạ trong 1 tuần \((y \ge 0)\).

Bước 2: Xây dựng các bất phương trình (điều kiện ràng buộc)

Dựa vào các thông tin đã cho, chúng ta có các điều kiện ràng buộc sau:

1. Ràng buộc về tổng thời gian tập luyện:
   Mạnh có thể thu xếp tối đa 12 giờ để tập luyện.
   Vậy, tổng số giờ đạp xe và tập cử tạ không được vượt quá 12 giờ.
   Bất phương trình: \(x + y \le 12\) (1)
2. Ràng buộc về tổng calo tiêu hao:
   Mỗi giờ đạp xe tiêu hao 350 calo.
   Mỗi giờ tập cử tạ tiêu hao 700 calo.
   Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7000 calo.
   Vậy, tổng số calo tiêu hao phải nhỏ hơn hoặc bằng 7000 calo.
   Bất phương trình: \(350x + 700y \le 7000\) (2)
   Chúng ta có thể chia cả hai vế của bất phương trình (2) cho 350 để đơn giản hóa:
   \(x + 2y \le 20\) (2′)
3. Ràng buộc về số giờ không âm:
   Số giờ tập luyện không thể là số âm.
   Bất phương trình: \(x \ge 0\) (3) và \(y \ge 0\) (4)

Tóm lại, hệ bất phương trình biểu diễn miền ràng buộc là:

\(\begin{cases} x + y \le 12 \\ x + 2y \le 20 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}\)

Bước 3: Xây dựng hàm mục tiêu (chi phí và calo)

Mạnh muốn “tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7000 calo” và “chi phí luyện tập ít tiền nhất”.

1. Hàm chi phí:
   Đạp xe không tốn chi phí (0 đồng/giờ).
   Tập cử tạ tốn 50000 đồng/giờ.
   Vậy, tổng chi phí \(C\) trong 1 tuần là: \(C = 0x + 50000y = 50000y\) (đồng).
   Chúng ta cần tối thiểu hóa hàm chi phí \(C\).
2. Hàm calo tiêu hao:
   Tổng calo tiêu hao \(K = 350x + 700y\).
   Chúng ta cần \(K\) đạt giá trị lớn nhất có thể, nhưng \(K \le 7000\).

Bước 4: Xác định miền nghiệm hợp lệ và các điểm cực biên

Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình để xác định miền nghiệm hợp lệ (miền chứa các điểm \((x,y)\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình).

Các đường thẳng biên là:

• \(d_1: x + y = 12\)
• \(d_2: x + 2y = 20\)
• \(d_3: x = 0\) (trục Oy)
• \(d_4: y = 0\) (trục Ox)

Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm (các giao điểm của các đường thẳng):

• Giao điểm của \(d_1\) và \(d_3\): \(x=0 \implies y=12\). Điểm \(A(0, 12)\).
• Giao điểm của \(d_2\) và \(d_3\): \(x=0 \implies 2y=20 \implies y=10\). Điểm \(B(0, 10)\).
• Giao điểm của \(d_1\) và \(d_4\): \(y=0 \implies x=12\). Điểm \(C(12, 0)\).
• Giao điểm của \(d_2\) và \(d_4\): \(y=0 \implies x=20\). Điểm \(D(20, 0)\). (Lưu ý: điểm này nằm ngoài miền \(x+y \le 12\), nên không phải đỉnh của miền hợp lệ.)
• Giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\):
  \(\begin{cases} x + y = 12 \\ x + 2y = 20 \end{cases}\)
  Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \((x+2y) – (x+y) = 20 – 12 \implies y = 8\).
  Thay \(y=8\) vào \(x+y=12 \implies x+8=12 \implies x=4\).
  Điểm \(E(4, 8)\).

Miền nghiệm hợp lệ là một đa giác lồi với các đỉnh là:

\(O(0, 0)\), \(C(12, 0)\), \(E(4, 8)\), \(B(0, 10)\).

Bước 5: Đánh giá hàm mục tiêu tại các đỉnh và tìm giải pháp tối ưu

Chúng ta sẽ tính toán tổng calo tiêu hao (\(K = 350x + 700y\)) và tổng chi phí (\(C = 50000y\)) tại các đỉnh của miền nghiệm:

• Tại điểm \(O(0, 0)\):
  \(x = 0\) giờ, \(y = 0\) giờ.
  Tổng thời gian: \(0+0 = 0\) giờ (\(\le 12\) giờ).
  Tổng calo: \(350(0) + 700(0) = 0\) calo (\(\le 7000\) calo).
  Tổng chi phí: \(50000(0) = 0\) đồng.
  (Điểm này không đáp ứng mục tiêu “tiêu hao nhiều calo”)
• Tại điểm \(C(12, 0)\):
  \(x = 12\) giờ, \(y = 0\) giờ.
  Tổng thời gian: \(12+0 = 12\) giờ (\(\le 12\) giờ).
  Tổng calo: \(350(12) + 700(0) = 4200\) calo (\(\le 7000\) calo).
  Tổng chi phí: \(50000(0) = 0\) đồng.
  (Đây là trường hợp chỉ đạp xe. Calo đạt 4200, chi phí 0.)
• Tại điểm \(E(4, 8)\):
  \(x = 4\) giờ, \(y = 8\) giờ.
  Tổng thời gian: \(4+8 = 12\) giờ (\(\le 12\) giờ).
  Tổng calo: \(350(4) + 700(8) = 1400 + 5600 = 7000\) calo (\(\le 7000\) calo).
  Tổng chi phí: \(50000(8) = 400000\) đồng.
  (Calo đạt mức tối đa 7000, chi phí 400.000 đồng.)
• Tại điểm \(B(0, 10)\):
  \(x = 0\) giờ, \(y = 10\) giờ.
  Tổng thời gian: \(0+10 = 10\) giờ (\(\le 12\) giờ).
  Tổng calo: \(350(0) + 700(10) = 7000\) calo (\(\le 7000\) calo).
  Tổng chi phí: \(50000(10) = 500000\) đồng.
  (Calo đạt mức tối đa 7000, chi phí 500.000 đồng.)

Phân tích để chọn phương án tối ưu:

Mạnh muốn “tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7000 calo”. Nhìn vào các điểm trên, có hai điểm giúp Mạnh đạt được mức calo tiêu hao tối đa là 7000 calo:

1. Điểm \(E(4, 8)\): \(x=4\) giờ đạp xe, \(y=8\) giờ cử tạ. Chi phí là 400.000 đồng.
2. Điểm \(B(0, 10)\): \(x=0\) giờ đạp xe, \(y=10\) giờ cử tạ. Chi phí là 500.000 đồng.

Tiếp theo, Mạnh muốn “chi phí luyện tập ít tiền nhất”. So sánh chi phí của hai phương án trên:

• Phương án \(E(4, 8)\) có chi phí 400.000 đồng.
• Phương án \(B(0, 10)\) có chi phí 500.000 đồng.

Rõ ràng, phương án tại điểm \(E(4, 8)\) cho phép Mạnh tiêu hao 7000 calo với chi phí thấp nhất là 400.000 đồng.

Bước 6: Trả lời câu hỏi của bài toán

Bài toán hỏi Mạnh nên đạp xe bao nhiêu giờ 1 tuần.

Theo phương án tối ưu đã chọn \(E(4, 8)\), số giờ đạp xe là \(x = 4\) giờ.

Kết luận:

Để tiêu hao nhiều calo nhất (7000 calo) và tốn ít chi phí nhất (400.000 đồng), Mạnh nên:

Đạp xe 4 giờ 1 tuần và tập cử tạ 8 giờ 1 tuần.

Vậy, số giờ đạp xe 1 tuần mà Mạnh nên thực hiện là 4 giờ.

Chúc các em học tốt!