Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về việc xác định biểu thức không phụ thuộc vào biến x. Bài toán yêu cầu chúng ta phân tích hai biểu thức A và B để xem biểu thức nào sau khi rút gọn sẽ không còn chứa biến x nữa.

Chúng ta sẽ đi vào chi tiết từng biểu thức nhé.

Biểu thức a:

Ta có biểu thức: \( a = (x-1)^3 – (x+1)^3 + 6(x+1)(x-1) \)

Để giải quyết biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:

• Lập phương của một hiệu: \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)
• Lập phương của một tổng: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
• Hiệu hai bình phương: \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \)

Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào biểu thức a:

\( (x-1)^3 = x^3 – 3x^2(1) + 3x(1)^2 – 1^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \)

\( (x+1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)

\( 6(x+1)(x-1) = 6(x^2 – 1^2) = 6(x^2 – 1) = 6x^2 – 6 \)

Bây giờ, chúng ta thay thế các kết quả này vào biểu thức a ban đầu:

\( a = (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (6x^2 – 6) \)

Tiếp theo, chúng ta thực hiện phép trừ và cộng, chú ý dấu của các hạng tử bên trong dấu ngoặc thứ hai:

\( a = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 – x^3 – 3x^2 – 3x – 1 + 6x^2 – 6 \)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

\( a = (x^3 – x^3) + (-3x^2 – 3x^2 + 6x^2) + (3x – 3x) + (-1 – 1 – 6) \)

Thực hiện phép tính cho từng nhóm:

\( a = 0 + (0x^2) + 0 + (-8) \)

\( a = -8 \)

Như vậy, sau khi rút gọn, biểu thức a có giá trị là -8, đây là một hằng số và không chứa biến x. Do đó, biểu thức a không phụ thuộc vào biến x.

Biểu thức b:

Ta có biểu thức: \( B = (4x-1)^3 – (4x-3)(16x^2+3) + x \)

Chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng các hằng đẳng thức:

• Lập phương của một hiệu: \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Áp dụng vào phần \( (4x-1)^3 \):

\( (4x-1)^3 = (4x)^3 – 3(4x)^2(1) + 3(4x)(1)^2 – 1^3 \)

\( = 64x^3 – 3(16x^2)(1) + 12x – 1 \)

\( = 64x^3 – 48x^2 + 12x – 1 \)

Tiếp theo, chúng ta nhân phần \( (4x-3)(16x^2+3) \). Ta có thể coi \( 16x^2 \) là \( (4x)^2 \). Tuy nhiên, biểu thức này không giống với hằng đẳng thức \( (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \) hay \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \) vì hạng tử ở giữa \( ab \) hoặc \( -ab \) không xuất hiện. Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân đa thức thông thường:

\( (4x-3)(16x^2+3) = 4x(16x^2+3) – 3(16x^2+3) \)

\( = 4x \cdot 16x^2 + 4x \cdot 3 – 3 \cdot 16x^2 – 3 \cdot 3 \)

\( = 64x^3 + 12x – 48x^2 – 9 \)

\( = 64x^3 – 48x^2 + 12x – 9 \)

Bây giờ, chúng ta thay thế các kết quả này vào biểu thức B ban đầu:

\( B = (64x^3 – 48x^2 + 12x – 1) – (64x^3 – 48x^2 + 12x – 9) + x \)

Thực hiện phép trừ và cộng, chú ý dấu của các hạng tử bên trong dấu ngoặc thứ hai:

\( B = 64x^3 – 48x^2 + 12x – 1 – 64x^3 + 48x^2 – 12x + 9 + x \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

\( B = (64x^3 – 64x^3) + (-48x^2 + 48x^2) + (12x – 12x + x) + (-1 + 9) \)

Thực hiện phép tính cho từng nhóm:

\( B = 0 + 0 + x + 8 \)

\( B = x + 8 \)

Sau khi rút gọn, biểu thức B có giá trị là \( x+8 \). Biểu thức này vẫn còn chứa biến x. Do đó, biểu thức B phụ thuộc vào biến x.

Kết luận:

Qua phân tích chi tiết, chúng ta thấy rằng:

• Biểu thức a sau khi rút gọn là -8, không phụ thuộc vào biến x.
• Biểu thức B sau khi rút gọn là \( x+8 \), phụ thuộc vào biến x.

Vậy, biểu thức a là biểu thức không phụ thuộc vào biến x.