Đề bài của chúng ta như sau:
Trong đại chiến thế giới lần thứ II, có một vị thượng úy phải vận chuyển vật tư lên tiền tuyến. Quãng đường đi dài 5 vạn km với chiếc xe chuyên dụng ba bánh. Do đường xấu nên mỗi lốp xe chỉ có thể đi được 2 vạn km. Thượng úy chỉ có 5 chiếc lốp xe và trên đường đi không có chỗ nào thay lốp được. Hỏi thượng úy phải làm thế nào với 8 chiếc bánh xe mà có thể vận chuyển được vật tư đến tiền tuyến.

Trước hết, chúng ta hãy phân tích các dữ kiện quan trọng của bài toán:

• Chiếc xe có 3 bánh.
• Tổng quãng đường cần đi: 5 vạn km.
• Mỗi lốp xe chỉ có thể đi được tối đa 2 vạn km.
• Thượng úy có tổng cộng 8 chiếc lốp xe (bao gồm 3 lốp đang lắp trên xe và 5 lốp dự phòng).
• Trên đường đi không có chỗ nào để thay lốp (ám chỉ việc không có trạm sửa chữa, nhưng thượng úy có thể tự thay lốp trên đường).

Bước 1: Tính tổng “quãng đường lốp” cần thiết và tổng “quãng đường lốp” có thể đi được.

Để xe ba bánh đi hết quãng đường 5 vạn km, mỗi bánh xe sẽ phải lăn 5 vạn km. Vì có 3 bánh, nên tổng “quãng đường lốp” mà chuyến đi này đòi hỏi là:

\( \text{Tổng quãng đường lốp cần thiết} = \text{Số bánh xe} \times \text{Quãng đường cần đi} = 3 \times 5 \text{ vạn km} = 15 \text{ vạn km} \).

Mỗi chiếc lốp có thể đi được 2 vạn km. Thượng úy có 8 chiếc lốp xe. Vậy, tổng “quãng đường lốp” mà thượng úy có thể sử dụng là:

\( \text{Tổng quãng đường lốp có thể đi} = \text{Số lốp xe} \times \text{Quãng đường mỗi lốp đi được} = 8 \times 2 \text{ vạn km} = 16 \text{ vạn km} \).

Nhận xét: Vì \( 16 \text{ vạn km} > 15 \text{ vạn km} \), nên về mặt lý thuyết, thượng úy hoàn toàn có đủ lốp để hoàn thành nhiệm vụ. Vấn đề là phải luân chuyển lốp như thế nào cho hợp lý.

Bước 2: Tính quãng đường trung bình mỗi lốp phải đi.

Để tối ưu hóa việc sử dụng lốp và đảm bảo không có lốp nào bị hỏng trước khi đến tiền tuyến, chúng ta cần phân bổ đều quãng đường cần đi cho tất cả 8 chiếc lốp. Quãng đường trung bình mà mỗi lốp sẽ đi là:

\( \text{Quãng đường trung bình mỗi lốp đi} = \frac{\text{Tổng quãng đường lốp cần thiết}}{\text{Tổng số lốp xe}} = \frac{15 \text{ vạn km}}{8 \text{ lốp}} = 1.875 \text{ vạn km} \).

Vì \( 1.875 \text{ vạn km} < 2 \text{ vạn km} \), nên nếu phân bổ quãng đường đi đều cho tất cả 8 lốp, không lốp nào sẽ bị hỏng hoàn toàn.

Bước 3: Lập kế hoạch luân chuyển lốp.

Để đảm bảo mỗi lốp đi được quãng đường xấp xỉ 1.875 vạn km, thượng úy cần luân chuyển các lốp một cách có hệ thống. Chúng ta sẽ chia tổng quãng đường 5 vạn km thành các chặng nhỏ hơn, mỗi chặng là \( \frac{5}{8} \) vạn km.

Gọi 8 chiếc lốp là L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7, L8.

Ban đầu, 3 lốp L1, L2, L3 được lắp vào xe. Các lốp còn lại (L4, L5, L6, L7, L8) là lốp dự phòng mới (chưa đi km nào).

Lưu ý: Việc thay lốp được thực hiện tại các điểm dừng trên đường đi mà không cần “trạm thay lốp chuyên dụng”.

Kế hoạch luân chuyển như sau:

• Xe đi với 3 lốp: L1, L2, L3.
• Sau \( \frac{5}{8} \) vạn km: mỗi lốp L1, L2, L3 đã đi được \( \frac{5}{8} \) vạn km.
• Thay lốp: Thượng úy thay lốp L1 bằng lốp L4 (mới).
• Hiện tại trên xe: L2, L3, L4.
• Các lốp dự phòng: L1 (đã đi \( \frac{5}{8} \) vạn km), L5, L6, L7, L8 (mới).

• Xe đi với 3 lốp: L2, L3, L4.
• Sau chặng này, quãng đường đi được của các lốp:
  • L2, L3: \( \frac{5}{8} + \frac{5}{8} = \frac{10}{8} \) vạn km.
  • L4: \( \frac{5}{8} \) vạn km.
• Thay lốp: Thượng úy thay lốp L2 bằng lốp L5 (mới).
• Hiện tại trên xe: L3, L4, L5.
• Các lốp dự phòng: L1 (\(\frac{5}{8}\)), L2 (\(\frac{10}{8}\)), L6, L7, L8 (mới).

• Xe đi với 3 lốp: L3, L4, L5.
• Sau chặng này, quãng đường đi được của các lốp:
  • L3: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.
  • L4: \( \frac{5}{8} + \frac{5}{8} = \frac{10}{8} \) vạn km.
  • L5: \( \frac{5}{8} \) vạn km.
• Thay lốp: Thượng úy thay lốp L3 bằng lốp L6 (mới).
• Hiện tại trên xe: L4, L5, L6.
• Các lốp dự phòng: L1 (\(\frac{5}{8}\)), L2 (\(\frac{10}{8}\)), L3 (\(\frac{15}{8}\)), L7, L8 (mới).

• Xe đi với 3 lốp: L4, L5, L6.
• Sau chặng này, quãng đường đi được của các lốp:
  • L4: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.
  • L5: \( \frac{5}{8} + \frac{5}{8} = \frac{10}{8} \) vạn km.
  • L6: \( \frac{5}{8} \) vạn km.
• Thay lốp: Thượng úy thay lốp L4 bằng lốp L7 (mới).
• Hiện tại trên xe: L5, L6, L7.
• Các lốp dự phòng: L1 (\(\frac{5}{8}\)), L2 (\(\frac{10}{8}\)), L3 (\(\frac{15}{8}\)), L4 (\(\frac{15}{8}\)), L8 (mới).

• Xe đi với 3 lốp: L5, L6, L7.
• Sau chặng này, quãng đường đi được của các lốp:
  • L5: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.
  • L6: \( \frac{5}{8} + \frac{5}{8} = \frac{10}{8} \) vạn km.
  • L7: \( \frac{5}{8} \) vạn km.
• Thay lốp: Thượng úy thay lốp L5 bằng lốp L8 (mới).
• Hiện tại trên xe: L6, L7, L8.
• Các lốp dự phòng: L1 (\(\frac{5}{8}\)), L2 (\(\frac{10}{8}\)), L3 (\(\frac{15}{8}\)), L4 (\(\frac{15}{8}\)), L5 (\(\frac{15}{8}\)).

Tại thời điểm này, tất cả 8 lốp đã từng được đưa vào sử dụng.

• Xe đi với 3 lốp: L6, L7, L8.
• Sau chặng này, quãng đường đi được của các lốp:
  • L6: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.
  • L7: \( \frac{5}{8} + \frac{5}{8} = \frac{10}{8} \) vạn km.
  • L8: \( \frac{5}{8} \) vạn km.
• Thay lốp: Lốp L6 đã đi được \( \frac{15}{8} \) vạn km. Thượng úy thay lốp L6 bằng lốp dự phòng có quãng đường đi ít nhất là L1 (đã đi \( \frac{5}{8} \) vạn km).
• Hiện tại trên xe: L7, L8, L1.
• Các lốp dự phòng: L2 (\(\frac{10}{8}\)), L3 (\(\frac{15}{8}\)), L4 (\(\frac{15}{8}\)), L5 (\(\frac{15}{8}\)), L6 (\(\frac{15}{8}\)).

• Xe đi với 3 lốp: L7, L8, L1.
• Sau chặng này, quãng đường đi được của các lốp:
  • L7: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.
  • L8: \( \frac{5}{8} + \frac{5}{8} = \frac{10}{8} \) vạn km.
  • L1: \( \frac{5}{8} + \frac{5}{8} = \frac{10}{8} \) vạn km.
• Thay lốp: Lốp L7 đã đi được \( \frac{15}{8} \) vạn km. Thượng úy thay lốp L7 bằng lốp dự phòng có quãng đường đi ít nhất là L2 (đã đi \( \frac{10}{8} \) vạn km).
• Hiện tại trên xe: L8, L1, L2.
• Các lốp dự phòng: L3 (\(\frac{15}{8}\)), L4 (\(\frac{15}{8}\)), L5 (\(\frac{15}{8}\)), L6 (\(\frac{15}{8}\)), L7 (\(\frac{15}{8}\)).

• Xe đi với 3 lốp: L8, L1, L2.
• Quãng đường còn lại cần đi là \( 5 – 4.375 = 0.625 \) vạn km, tương đương \( \frac{5}{8} \) vạn km.
• Kiểm tra quãng đường các lốp đang trên xe có thể đi thêm:
  • L8: Đã đi \( \frac{10}{8} \) vạn km, còn lại \( 2 – \frac{10}{8} = \frac{6}{8} \) vạn km.
  • L1: Đã đi \( \frac{10}{8} \) vạn km, còn lại \( 2 – \frac{10}{8} = \frac{6}{8} \) vạn km.
  • L2: Đã đi \( \frac{10}{8} \) vạn km, còn lại \( 2 – \frac{10}{8} = \frac{6}{8} \) vạn km.
• Vì tất cả các lốp trên xe đều còn đủ khả năng đi thêm \( \frac{5}{8} \) vạn km, thượng úy tiếp tục lái xe mà không cần thay lốp nữa.
• Sau khi đi hết \( \frac{5}{8} \) vạn km cuối cùng, xe đã đến tiền tuyến. Quãng đường đi được của các lốp trên xe là:
  • L8: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.
  • L1: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.
  • L2: \( \frac{10}{8} + \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \) vạn km.

Khi xe đến tiền tuyến, tất cả 8 chiếc lốp (L1 đến L8) đều đã đi được \( \frac{15}{8} = 1.875 \) vạn km. Mỗi lốp có giới hạn là 2 vạn km, nên không lốp nào bị hỏng và thượng úy đã hoàn thành nhiệm vụ vận chuyển vật tư.