Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về chuyển động rơi tự do. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ lưỡng các quãng đường và thời gian trong từng giai đoạn rơi của vật.

Đề bài: Trong hai giây cuối trước khi chạm đất vật rơi tự do rơi được quãng đường gấp 3 lần quãng đường nó rơi được trước đó. Tính độ cao nơi thả vật cho \(g = 10m/s^2\).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

I. Phân tích bài toán và tóm tắt đề bài

• Vật rơi tự do, nghĩa là vận tốc ban đầu \(v_0 = 0\).
• Gia tốc trọng trường \(g = 10 \text{ m/s}^2\).
• Gọi \(T\) là tổng thời gian vật rơi cho đến khi chạm đất.
• Gọi \(h\) là tổng độ cao nơi thả vật.
• Quãng đường vật rơi được trong thời gian \((T – 2)\) giây đầu tiên (tức là quãng đường “trước đó”) là \(h_1\).
• Quãng đường vật rơi được trong 2 giây cuối cùng là \(h_2\).
• Theo đề bài, ta có mối quan hệ: \(h_2 = 3h_1\).
• Ta cần tìm độ cao \(h\).

II. Các công thức áp dụng cho chuyển động rơi tự do

Với \(v_0 = 0\), quãng đường vật rơi được sau thời gian \(t\) là:

\(s = \frac{1}{2}gt^2\)

III. Xây dựng các phương trình

1. Tính quãng đường \(h_1\): Đây là quãng đường vật rơi được trong thời gian \((T – 2)\) giây đầu tiên.

\(h_1 = \frac{1}{2}g(T-2)^2\)
(Điều kiện để quãng đường này có nghĩa là \(T-2 > 0\), tức \(T > 2\) giây).

2. Tính tổng quãng đường \(h\): Đây là tổng độ cao vật rơi được trong toàn bộ thời gian \(T\).

\(h = \frac{1}{2}gT^2\)

3. Tính quãng đường \(h_2\): Đây là quãng đường vật rơi được trong 2 giây cuối. Chúng ta có thể tính \(h_2\) bằng cách lấy tổng quãng đường \(h\) trừ đi quãng đường \(h_1\).

\(h_2 = h – h_1\)

\(h_2 = \frac{1}{2}gT^2 – \frac{1}{2}g(T-2)^2\)

\(h_2 = \frac{1}{2}g [T^2 – (T^2 – 4T + 4)]\)

\(h_2 = \frac{1}{2}g (T^2 – T^2 + 4T – 4)\)

\(h_2 = \frac{1}{2}g (4T – 4)\)

\(h_2 = 2g(T-1)\)

IV. Sử dụng điều kiện của đề bài để tìm thời gian \(T\)

Theo đề bài, chúng ta có mối quan hệ: \(h_2 = 3h_1\).

Thay các biểu thức của \(h_1\) và \(h_2\) vào phương trình này:

\(2g(T-1) = 3 \cdot \frac{1}{2}g(T-2)^2\)

Vì \(g \neq 0\), chúng ta có thể rút gọn \(g\) ở cả hai vế:

\(2(T-1) = \frac{3}{2}(T-2)^2\)

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số:

\(4(T-1) = 3(T-2)^2\)

Khai triển vế phải:

\(4T – 4 = 3(T^2 – 4T + 4)\)

\(4T – 4 = 3T^2 – 12T + 12\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(0 = 3T^2 – 12T – 4T + 12 + 4\)

\(3T^2 – 16T + 16 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể dùng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình \(aT^2 + bT + c = 0\):

\(T = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)

Với \(a=3\), \(b=-16\), \(c=16\):

\(T = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}\)

\(T = \frac{16 \pm \sqrt{256 – 192}}{6}\)

\(T = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{6}\)

\(T = \frac{16 \pm 8}{6}\)

Ta có hai nghiệm cho \(T\):

\(T_1 = \frac{16 + 8}{6} = \frac{24}{6} = 4 \text{ s}\)

\(T_2 = \frac{16 – 8}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \text{ s}\)

V. Kiểm tra điều kiện của nghiệm

Như đã phân tích ở trên, thời gian rơi của quãng đường \(h_1\) là \((T-2)\) giây, và thời gian này phải là một giá trị dương (\(T-2 > 0 \Rightarrow T > 2\) giây).

• Với \(T_1 = 4\) s: \(T_1 – 2 = 4 – 2 = 2\) s. Đây là một giá trị hợp lệ.
• Với \(T_2 = \frac{4}{3}\) s: \(T_2 – 2 = \frac{4}{3} – 2 = \frac{4 – 6}{3} = -\frac{2}{3}\) s. Giá trị này là âm, không có ý nghĩa vật lý (không thể có thời gian rơi trước đó là âm). Vậy nghiệm này bị loại.

Vậy, tổng thời gian rơi của vật là \(T = 4\) giây.

VI. Tính độ cao nơi thả vật \(h\)

Bây giờ chúng ta đã có tổng thời gian rơi \(T = 4\) giây và \(g = 10 \text{ m/s}^2\). Ta sử dụng công thức tính tổng quãng đường \(h\):

\(h = \frac{1}{2}gT^2\)

\(h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (4)^2\)

\(h = 5 \cdot 16\)

\(h = 80 \text{ m}\)

VII. Kết luận

Độ cao nơi thả vật là \(80 \text{ m}\).

Kiểm tra lại:

• Tổng thời gian rơi \(T = 4\) s.
• Thời gian rơi trước 2 giây cuối là \(t_1 = T – 2 = 4 – 2 = 2\) s.
• Quãng đường \(h_1\) trong 2 giây đầu: \(h_1 = \frac{1}{2}g t_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (2)^2 = 5 \cdot 4 = 20 \text{ m}\).
• Tổng quãng đường \(h\) trong 4 giây: \(h = \frac{1}{2}g T^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (4)^2 = 5 \cdot 16 = 80 \text{ m}\).
• Quãng đường \(h_2\) trong 2 giây cuối: \(h_2 = h – h_1 = 80 – 20 = 60 \text{ m}\).
• Kiểm tra điều kiện: \(h_2 = 3h_1 \Rightarrow 60 = 3 \cdot 20\). Điều kiện này đúng (\(60 = 60\)).

Vậy, kết quả của chúng ta là chính xác!

Các em thấy đấy, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích kỹ lưỡng từng giai đoạn và áp dụng đúng các công thức, bài toán sẽ trở nên rất rõ ràng. Hãy luyện tập thêm để nắm vững dạng bài này nhé!