Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hiện tượng giao thoa sóng nước, một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình Vật lý 11. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Trong hiện tượng giao thoa sóng nước tại A, B cách nhau 10cm, người ta tạo ra 2 nguồn dao động đồng bộ với tần số 40 Hz và vận tốc truyền sóng là 60 cm/s. Xét trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB, điểm dao động với biên độ lớn nhất cách B một đoạn nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Phân tích đề bài và tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Hai nguồn dao động đồng bộ tại A và B.
• Khoảng cách giữa hai nguồn: \(AB = d = 10 \text{ cm}\).
• Tần số dao động của nguồn: \(f = 40 \text{ Hz}\).
• Vận tốc truyền sóng: \(v = 60 \text{ cm/s}\).
• Điểm khảo sát (P) nằm trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB.
• Yêu cầu: Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ B đến P (\(BP_{min}\)) để P dao động với biên độ cực đại (lớn nhất).

Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu giải bài toán này theo các bước chi tiết.

Bước 1: Tính toán bước sóng (\(\lambda\)).

Bước sóng là đại lượng cơ bản để xác định các điều kiện giao thoa. Công thức tính bước sóng là:

\( \lambda = \frac{v}{f} \)

Thay số vào, ta có:

\( \lambda = \frac{60 \text{ cm/s}}{40 \text{ Hz}} = 1.5 \text{ cm} \)

Bước 2: Thiết lập hình học và biểu thức hiệu đường đi.

Chúng ta hãy hình dung vị trí của các điểm A, B và P.

Giả sử A và B nằm trên trục hoành. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB sẽ là trục tung tại B.

Gọi P là một điểm bất kỳ trên đường thẳng này. Khoảng cách từ B đến P là \(BP = x\).

Khoảng cách từ A đến P là \(AP\).

Do đường thẳng qua B vuông góc với AB, tam giác \(\triangle ABP\) là một tam giác vuông tại B.

Theo định lý Pythagoras, ta có:

\( AP^2 = AB^2 + BP^2 \)
\( AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} \)

Thay các giá trị đã biết vào:

\( AP = \sqrt{d^2 + x^2} = \sqrt{10^2 + x^2} = \sqrt{100 + x^2} \)

Hiệu đường đi của sóng từ hai nguồn đến điểm P là \(\Delta d\). Chúng ta có thể chọn \(\Delta d = AP – BP\) hoặc \(BP – AP\).

Chọn \(\Delta d = AP – BP\):

\( \Delta d = \sqrt{100 + x^2} – x \)

Bước 3: Áp dụng điều kiện để P dao động với biên độ cực đại.

Đối với hai nguồn dao động đồng bộ, một điểm P dao động với biên độ cực đại khi hiệu đường đi của sóng từ hai nguồn đến điểm P bằng một số nguyên lần bước sóng:

\( \Delta d = k\lambda \)

Trong đó \(k\) là một số nguyên (\(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\)).

Thay biểu thức của \(\Delta d\) và \(\lambda\) vào phương trình:

\( \sqrt{100 + x^2} – x = k \times 1.5 \)

Bước 4: Giải phương trình để tìm \(x\).

Chúng ta cần tìm \(x\) theo \(k\):

\( \sqrt{100 + x^2} = x + 1.5k \)

Bình phương cả hai vế (lưu ý điều kiện \(x + 1.5k \ge 0\)):

\( 100 + x^2 = (x + 1.5k)^2 \)
\( 100 + x^2 = x^2 + 2 \times x \times 1.5k + (1.5k)^2 \)
\( 100 + x^2 = x^2 + 3kx + (1.5k)^2 \)

Triệt tiêu \(x^2\) ở hai vế:

\( 100 = 3kx + (1.5k)^2 \)

Chuyển các số hạng không chứa \(x\) sang một vế:

\( 3kx = 100 – (1.5k)^2 \)

Giải cho \(x\):

\( x = \frac{100 – (1.5k)^2}{3k} \)

Bước 5: Xác định giá trị của \(k\) để tìm khoảng cách \(x\) nhỏ nhất.

Điểm P nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại B. Khi P ở rất xa B (tức \(x \to \infty\)), hiệu đường đi \(\Delta d \to 0\). Khi P trùng với B (tức \(x = 0\)), hiệu đường đi \(\Delta d = AP – BP = AB – 0 = 10 \text{ cm}\).

Vậy, hiệu đường đi \(\Delta d\) có giá trị trong khoảng \(0 < \Delta d \le d\), tức là \(0 < k\lambda \le 10 \text{ cm}\).

Thay \(\lambda = 1.5 \text{ cm}\):

\( 0 < k \times 1.5 \le 10 \) \( 0 < k \le \frac{10}{1.5} \) \( 0 < k \le 6.67 \)

Ngoài ra, để \(x\) là một khoảng cách dương, tử số của biểu thức \(x\) phải dương:

\( 100 – (1.5k)^2 > 0 \)
\( (1.5k)^2 < 100 \) \( 1.5k < \sqrt{100} \) \( 1.5k < 10 \) \( k < \frac{10}{1.5} \) \( k < 6.67 \)

Kết hợp cả hai điều kiện, \(k\) phải là số nguyên dương và \(k < 6.67\). Các giá trị nguyên có thể của \(k\) là \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).

Chúng ta cần tìm điểm P có khoảng cách đến B nhỏ nhất (\(x_{min}\)).
Xét biểu thức của \(x\): \(x = \frac{100 – (1.5k)^2}{3k}\). Để \(x\) đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần tìm giá trị \(k\) phù hợp.

Hãy xem xét các giá trị \(k\) có thể:

• Với \(k=1\): \(x = \frac{100 – (1.5)^2}{3 \times 1} = \frac{100 – 2.25}{3} = \frac{97.75}{3} \approx 32.58 \text{ cm}\)
• Với \(k=2\): \(x = \frac{100 – (3)^2}{3 \times 2} = \frac{100 – 9}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \text{ cm}\)
• Với \(k=3\): \(x = \frac{100 – (4.5)^2}{3 \times 3} = \frac{100 – 20.25}{9} = \frac{79.75}{9} \approx 8.86 \text{ cm}\)
• Với \(k=4\): \(x = \frac{100 – (6)^2}{3 \times 4} = \frac{100 – 36}{12} = \frac{64}{12} \approx 5.33 \text{ cm}\)
• Với \(k=5\): \(x = \frac{100 – (7.5)^2}{3 \times 5} = \frac{100 – 56.25}{15} = \frac{43.75}{15} \approx 2.92 \text{ cm}\)
• Với \(k=6\): \(x = \frac{100 – (9)^2}{3 \times 6} = \frac{100 – 81}{18} = \frac{19}{18} \approx 1.056 \text{ cm}\)

Để tìm khoảng cách \(x\) nhỏ nhất, ta cần chọn giá trị \(k\) lớn nhất có thể (mà vẫn thỏa mãn \(k\lambda < d\)). Trong trường hợp này, giá trị \(k\) lớn nhất là \(k=6\).

Bước 6: Tính toán giá trị \(x\) nhỏ nhất.

Với \(k = 6\), ta tính được \(x\):

\( x_{min} = \frac{100 – (1.5 \times 6)^2}{3 \times 6} \)
\( x_{min} = \frac{100 – (9)^2}{18} \)
\( x_{min} = \frac{100 – 81}{18} \)
\( x_{min} = \frac{19}{18} \text{ cm} \)

Kết luận:

Vậy, điểm dao động với biên độ lớn nhất cách B một đoạn nhỏ nhất là \(\frac{19}{18} \text{ cm}\), hay xấp xỉ \(1.056 \text{ cm}\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách vận dụng kiến thức về giao thoa sóng để giải quyết bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!