Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị liên quan đến chuyển động trong không gian Oxyz. Bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức về phương trình đường thẳng, khoảng cách mà còn giúp chúng ta áp dụng vào tình huống thực tế nhé.

Đề bài: Trong không gian Oxyz, một khinh khí cầu ở toạ độ A(-12;-7;9) bắt đầu bay với vecto vận tốc không đổi v (8;6;-2) đơn vị vận tốc là km/h và dự kiến bay trong thời gian là 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu được đặt ở vị trí gốc toạ độ O kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng 12km. Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là bao nhiêu phút ?

Chúng ta cùng phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Xác định phương trình chuyển động của khinh khí cầu.

Gọi vị trí của khinh khí cầu tại thời điểm \(t\) (đơn vị: giờ) là \(M(x; y; z)\).

Khinh khí cầu bắt đầu bay từ vị trí \(A(-12; -7; 9)\) với vectơ vận tốc \(\vec{v} = (8; 6; -2)\).

Công thức vị trí của vật thể chuyển động thẳng đều là: \(\vec{OM}(t) = \vec{OA} + t \cdot \vec{v}\).

Do đó, tọa độ của khinh khí cầu tại thời điểm \(t\) là:

\(x(t) = -12 + 8t\)
\(y(t) = -7 + 6t\)
\(z(t) = 9 – 2t\)

Vậy, tọa độ điểm M tại thời điểm \(t\) là \(M(-12 + 8t; -7 + 6t; 9 – 2t)\).

Bước 2: Viết biểu thức khoảng cách từ khinh khí cầu đến trạm kiểm soát không lưu (gốc tọa độ O).

Trạm kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\).

Khoảng cách từ điểm \(M(x; y; z)\) đến gốc tọa độ \(O\) được tính bởi công thức: \(OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Thay các biểu thức của \(x(t), y(t), z(t)\) vào, ta có bình phương khoảng cách \(OM^2\):

\(OM^2(t) = (-12 + 8t)^2 + (-7 + 6t)^2 + (9 – 2t)^2\)

Chúng ta khai triển từng biểu thức:

• \((-12 + 8t)^2 = (-12)^2 + 2 \cdot (-12) \cdot (8t) + (8t)^2 = 144 – 192t + 64t^2\)
• \((-7 + 6t)^2 = (-7)^2 + 2 \cdot (-7) \cdot (6t) + (6t)^2 = 49 – 84t + 36t^2\)
• \((9 – 2t)^2 = (9)^2 + 2 \cdot (9) \cdot (-2t) + (-2t)^2 = 81 – 36t + 4t^2\)

Cộng các kết quả lại, ta được:

\(OM^2(t) = (64t^2 + 36t^2 + 4t^2) + (-192t – 84t – 36t) + (144 + 49 + 81)\)

\(OM^2(t) = 104t^2 – 312t + 274\)

Bước 3: Xác định khoảng thời gian khinh khí cầu nằm trong vùng kiểm soát.

Trạm kiểm soát không lưu kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng 12km. Điều này có nghĩa là khinh khí cầu nằm trong vùng kiểm soát khi và chỉ khi \(OM(t) \le 12\).

Để tiện tính toán, ta bình phương hai vế: \(OM^2(t) \le 12^2\)

\(104t^2 – 312t + 274 \le 144\)

Chuyển vế và rút gọn, ta được bất phương trình bậc hai:

\(104t^2 – 312t + 274 – 144 \le 0\)
\(104t^2 – 312t + 130 \le 0\)

Chúng ta có thể chia cả bất phương trình cho 2 để làm gọn các hệ số:

\(52t^2 – 156t + 65 \le 0\)

Để giải bất phương trình bậc hai này, ta tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng: \(52t^2 – 156t + 65 = 0\).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(at^2 + bt + c = 0\): \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)

Với \(a = 52\), \(b = -156\), \(c = 65\).

Tính biệt thức \(\Delta = b^2 – 4ac\):

\(\Delta = (-156)^2 – 4 \cdot 52 \cdot 65\)
\(\Delta = 24336 – 13520\)
\(\Delta = 10816\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{10816} = 104\)

Các nghiệm của phương trình là:

\(t_1 = \frac{-(-156) – 104}{2 \cdot 52} = \frac{156 – 104}{104} = \frac{52}{104} = \frac{1}{2} = 0.5\) (giờ)

\(t_2 = \frac{-(-156) + 104}{2 \cdot 52} = \frac{156 + 104}{104} = \frac{260}{104} = \frac{5}{2} = 2.5\) (giờ)

Vì hệ số \(a = 52 > 0\), parabol có bề lõm hướng lên trên. Do đó, bất phương trình \(52t^2 – 156t + 65 \le 0\) được thỏa mãn khi \(t\) nằm giữa hai nghiệm:

\(0.5 \le t \le 2.5\)

Điều này có nghĩa là:

• Khinh khí cầu đi vào vùng kiểm soát tại thời điểm \(t_1 = 0.5\) giờ.
• Khinh khí cầu đi ra khỏi vùng kiểm soát tại thời điểm \(t_2 = 2.5\) giờ.

Bước 4: Tính thời gian khinh khí cầu nằm trong vùng kiểm soát và đổi sang phút.

Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là hiệu giữa \(t_2\) và \(t_1\):

\(\Delta t = t_2 – t_1 = 2.5 – 0.5 = 2\) giờ.

Đổi sang phút:

\(\Delta t = 2 \text{ giờ} \times 60 \text{ phút/giờ} = 120\) phút.

Kết luận:

Vậy, thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là 120 phút.

Các em thấy không, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta phân tích kỹ lưỡng và đi từng bước một thì sẽ giải quyết được dễ dàng. Hãy luôn tự tin và luyện tập thật nhiều nhé!