Trong không gian Oxyz, một khinh khí cầu ở toạ độ A(-12;-7;9) bắt đầu…
Help mee
Chào em, một bài toán thực tế rất hay và quen thuộc trong chương trình Hình học không gian lớp 12 phải không nào? Để giải quyết bài toán này, thầy trò mình sẽ cùng nhau đi qua các bước lập phương trình chuyển động, tính khoảng cách và xác định thời gian nhé.
Bước 1: Lập phương trình chuyển động của khinh khí cầu
Gốc thời gian (t = 0) là lúc khinh khí cầu bắt đầu bay từ điểm A có tọa độ âm 12, âm 7, chín.
Vecto vận tốc của khinh khí cầu là v có tọa độ tám, sáu, âm hai.
Sau thời gian t (tính bằng giờ), tọa độ của khinh khí cầu được xác định theo công thức:
- Hoành độ x bằng âm 12 cộng 8 nhân t
- Tung độ y bằng âm 7 cộng 6 nhân t
- Cao độ z bằng 9 trừ đi 2 nhân t
Bước 2: Lập bất phương trình xác định vùng kiểm soát của trạm không lưu
Trạm kiểm soát đặt tại gốc tọa độ O có tọa độ 0, 0, 0 và kiểm soát các vật thể cách trạm tối đa 12 km.
Điều kiện để khinh khí cầu nằm trong vùng kiểm soát là khoảng cách từ điểm O đến khinh khí cầu nhỏ hơn hoặc bằng 12.
Ta bình phương hai vế để tính bình phương khoảng cách như sau:
x bình phương cộng y bình phương cộng z bình phương nhỏ hơn hoặc bằng 12 bình phương (tức là 144).
Bước 3: Giải bất phương trình tìm khoảng thời gian t
Thay tọa độ x, y, z theo t vào bất phương trình ở bước 2:
Mở ngoặc âm 12 cộng 8t đóng ngoặc bình phương cộng mở ngoặc âm 7 cộng 6t đóng ngoặc bình phương cộng mở ngoặc 9 trừ 2t đóng ngoặc bình phương nhỏ hơn hoặc bằng 144.
Khai triển các hằng đẳng thức:
- 144 trừ đi 192t cộng 64t bình phương
- Cộng với 49 trừ đi 84t cộng 36t bình phương
- Cộng với 81 trừ đi 36t cộng 4t bình phương
- Nhỏ hơn hoặc bằng 144
Rút gọn biểu thức trên, ta được bất phương trình bậc hai ẩn t:
104t bình phương trừ đi 312t cộng 130 nhỏ hơn hoặc bằng 0.
Chia cả hai vế cho 13, ta có:
8t bình phương trừ đi 24t cộng 10 nhỏ hơn hoặc bằng 0.
Giải bất phương trình này, ta tìm được hai nghiệm thời gian:
- t lớn hơn hoặc bằng 0,5 giờ
- t nhỏ hơn hoặc bằng 2,5 giờ
Bước 4: Tính thời gian khinh khí cầu nằm trong vùng kiểm soát
Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát phát hiện ra khinh khí cầu (t bằng 0,5 giờ) cho đến khi khinh khí cầu bay ra khỏi vùng kiểm soát (t bằng 2,5 giờ) là:
Lấy 2,5 trừ đi 0,5 bằng 2 giờ.
Bước 5: Đổi đơn vị sang phút theo yêu cầu đề bài
Đề bài yêu cầu tính thời gian bằng phút, ta lấy 2 giờ nhân với 60 phút để đổi đơn vị:
2 nhân 60 bằng 120 phút.
Kết luận: Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là 120 phút. Chúc các em học tập thật tốt nhé!
Tại thời điểm \(t\) (giờ) thì toạ độ vị trí của khinh khí cầu là:
\(B(-12+8t; -7+6t; 9-2t)\)
Trạm kiểm soát tại gốc toạ độ \(O\) chỉ kiểm soát được các vật thể cách trạm tối đa \(12 km\)
\(=> OB<=12\)
\(=> (-12+8t)^2+(-7+6t)^2+(9-2t)^2<=144\)
\(<=> 104t^2-312t+274<=144\)
\(<=> 4t^2-12t+5<=0\)
\(<=> (2t-1)(2t-5)<=0\)
\(<=> t in [1/2; 5/2]\)
\(=>\) Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là:
\(5/2-1/2=2\) (giờ) \(=120\) (phút)
Gọi thời gian bay của khinh khí cầu từ lúc xuất phát tại \(A\) là \(t(h)(t>=0)\)
Ta có \(:{(x=-12+8t),(y=-7+6t),(z=9-2t):}\)
Mà trạm kiểm soát không lưu được đặt ở vị trí gốc toạ độ O kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng \(12km\) nên ta có \(:\)
\(=>OM<=12\)
\(=>OM^2<=144\)
\(=>(-12+8t)^2+(-7+6t)^2+(9-2t)^2<=144\)
\(=>104t^2-312t+130<=0\)
\(=>1/2<=t<=5/2\)
Thời gian khinh khí cầu nằm trong vùng kiểm soát là \(:\)
\(=>5/2-1/2=2(h)\)
Đổi \(2h=120p\)
Vậy thời gian kể từ khi trạm kiểm soát phát hiện đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là \(120\) phút
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment