Chào các em học sinh!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học không gian thú vị về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 12 và cũng rất quan trọng cho các kỳ thi.

Đề bài: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(0; 2; -2); B(2; 2; -4)\). Giả sử \(I(a; b; c)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\). Tính \(T = a^2+ b^2 + c^2\).

Phân tích bài toán:

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm “tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác”. Tâm đường tròn ngoại tiếp (hay còn gọi là tâm ngoại tiếp) của một tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Trong không gian \(Oxyz\), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\) sẽ là một điểm \(I(a; b; c)\) sao cho khoảng cách từ \(I\) đến ba đỉnh \(O\), \(A\), \(B\) là bằng nhau.

Cụ thể, chúng ta có: \(IO = IA = IB\).

Để tiện cho việc tính toán, chúng ta sẽ sử dụng bình phương các khoảng cách để tránh căn bậc hai: \(IO^2 = IA^2 = IB^2\).

Các tọa độ đã cho là:

• Gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\)
• Điểm \(A(0; 2; -2)\)
• Điểm \(B(2; 2; -4)\)
• Tâm đường tròn ngoại tiếp \(I(a; b; c)\)

Bước 1: Tính bình phương khoảng cách từ \(I\) đến các đỉnh \(O, A, B\).

Công thức bình phương khoảng cách giữa hai điểm \(M(x_1; y_1; z_1)\) và \(N(x_2; y_2; z_2)\) là \(MN^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2\).

Áp dụng công thức này:

\(IO^2 = (a-0)^2 + (b-0)^2 + (c-0)^2 = a^2 + b^2 + c^2\)

\(IA^2 = (a-0)^2 + (b-2)^2 + (c-(-2))^2 = a^2 + (b-2)^2 + (c+2)^2\)

\(IB^2 = (a-2)^2 + (b-2)^2 + (c-(-4))^2 = (a-2)^2 + (b-2)^2 + (c+4)^2\)

Bước 2: Lập hệ phương trình từ điều kiện \(IO^2 = IA^2 = IB^2\).

Phương trình 1: Từ \(IO^2 = IA^2\)

\(a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (b-2)^2 + (c+2)^2\)

Khai triển các biểu thức:

\(a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (b^2 – 4b + 4) + (c^2 + 4c + 4)\)

Rút gọn \(a^2, b^2, c^2\) ở cả hai vế:

\(0 = -4b + 4 + 4c + 4\)

\(0 = -4b + 4c + 8\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(0 = -b + c + 2 \Rightarrow b – c = 2\) (1)

Phương trình 2: Từ \(IO^2 = IB^2\)

\(a^2 + b^2 + c^2 = (a-2)^2 + (b-2)^2 + (c+4)^2\)

Khai triển các biểu thức:

\(a^2 + b^2 + c^2 = (a^2 – 4a + 4) + (b^2 – 4b + 4) + (c^2 + 8c + 16)\)

Rút gọn \(a^2, b^2, c^2\) ở cả hai vế:

\(0 = -4a + 4 – 4b + 4 + 8c + 16\)

\(0 = -4a – 4b + 8c + 24\)

Chia cả hai vế cho -4:

\(0 = a + b – 2c – 6 \Rightarrow a + b – 2c = 6\) (2)

Bước 3: Sử dụng tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(OAB\) là tâm của đường tròn đi qua ba điểm \(O, A, B\). Đường tròn này nằm trong mặt phẳng chứa tam giác \(OAB\). Do đó, tọa độ của \(I(a; b; c)\) phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((OAB)\).

Để viết phương trình mặt phẳng \((OAB)\), ta cần một vectơ pháp tuyến. Ta có hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\).

\(\vec{OA} = (0-0; 2-0; -2-0) = (0; 2; -2)\)

\(\vec{OB} = (2-0; 2-0; -4-0) = (2; 2; -4)\)

Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng \((OAB)\) được tính bằng tích có hướng của \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\):

\(\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -4 \end{vmatrix}\)

\(\vec{n} = (2(-4) – (-2)(2))\vec{i} – (0(-4) – (-2)(2))\vec{j} + (0(2) – 2(2))\vec{k}\)

\(\vec{n} = (-8 + 4)\vec{i} – (0 + 4)\vec{j} + (0 – 4)\vec{k}\)

\(\vec{n} = -4\vec{i} – 4\vec{j} – 4\vec{k} = (-4; -4; -4)\)

Chúng ta có thể chọn một vectơ pháp tuyến đơn giản hơn, tỉ lệ với \(\vec{n}\), ví dụ \(\vec{n’} = (1; 1; 1)\) (bằng cách chia cho -4).

Mặt phẳng \((OAB)\) đi qua điểm \(O(0; 0; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n’} = (1; 1; 1)\), nên phương trình của nó là:

\(1(x – 0) + 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0\)

\(x + y + z = 0\)

Vì \(I(a; b; c)\) nằm trên mặt phẳng này, tọa độ của \(I\) phải thỏa mãn phương trình:

\(a + b + c = 0\) (3)

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm \(a, b, c\).

Chúng ta có hệ ba phương trình tuyến tính với ba ẩn \(a, b, c\):

1. \(b – c = 2\)
2. \(a + b – 2c = 6\)
3. \(a + b + c = 0\)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(b\) theo \(c\): \(b = c + 2\).

Thay \(b = c + 2\) vào phương trình (3):

\(a + (c + 2) + c = 0\)

\(a + 2c + 2 = 0 \Rightarrow a = -2c – 2\)

Bây giờ, thay \(a = -2c – 2\) và \(b = c + 2\) vào phương trình (2):

\((-2c – 2) + (c + 2) – 2c = 6\)

Gộp các hạng tử chứa \(c\) và các hằng số:

\((-2c + c – 2c) + (-2 + 2) = 6\)

\(-3c = 6\)

\(c = -2\)

Sau khi tìm được \(c\), ta tìm \(b\) và \(a\):

\(b = c + 2 = -2 + 2 = 0\)

\(a = -2c – 2 = -2(-2) – 2 = 4 – 2 = 2\)

Vậy tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp là \(I(2; 0; -2)\).

Bước 5: Tính giá trị \(T = a^2 + b^2 + c^2\).

Với \(a=2, b=0, c=-2\), ta có:

\(T = a^2 + b^2 + c^2 = (2)^2 + (0)^2 + (-2)^2\)

\(T = 4 + 0 + 4\)

\(T = 8\)

Kiểm tra lại (tùy chọn):

Để chắc chắn, chúng ta có thể kiểm tra lại xem khoảng cách từ \(I\) đến \(O, A, B\) có bằng nhau không:

\(IO^2 = 2^2 + 0^2 + (-2)^2 = 4 + 0 + 4 = 8\)

\(IA^2 = (2-0)^2 + (0-2)^2 + (-2-(-2))^2 = 2^2 + (-2)^2 + 0^2 = 4 + 4 + 0 = 8\)

\(IB^2 = (2-2)^2 + (0-2)^2 + (-2-(-4))^2 = 0^2 + (-2)^2 + 2^2 = 0 + 4 + 4 = 8\)

Các giá trị đều bằng 8, vậy kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Giá trị cần tìm là \(T = 8\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúc các em học tốt!