Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng. Đây là một dạng bài rất hay gặp trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \( (P): y=x^2 \) và đường thẳng \( (d): y=(m-1)x-m+2 \) (với m là tham số)

1. Tìm tọa độ giao điểm của \( (d) \) và \( (P) \) khi \( m=3 \)
2. Tìm m để \( (d) \) và \( (P) \) cắt nhau tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung và có hoành độ \( x_1,x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2+(m-1)x_2 =7 \).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Lời giải:

Để tìm tọa độ giao điểm của parabol \( (P) \) và đường thẳng \( (d) \), chúng ta sẽ lập phương trình hoành độ giao điểm bằng cách cho hai biểu thức của y bằng nhau:

\( x^2 = (m-1)x – m + 2 \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, ta được phương trình bậc hai:

\( x^2 – (m-1)x + (m-2) = 0 \) (Phương trình (*))

a) Tìm tọa độ giao điểm của \( (d) \) và \( (P) \) khi \( m=3 \)

Khi \( m=3 \), chúng ta thay giá trị của m vào phương trình (*):

\( x^2 – (3-1)x + (3-2) = 0 \)

\( x^2 – 2x + 1 = 0 \)

Đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ, có thể viết lại là:

\( (x-1)^2 = 0 \)

Giải phương trình này, ta được:

\( x = 1 \)

Để tìm tọa độ y của giao điểm, chúng ta thay \( x=1 \) vào phương trình của parabol \( (P): y=x^2 \):

\( y = 1^2 \)

\( y = 1 \)

Vậy, khi \( m=3 \), parabol \( (P) \) và đường thẳng \( (d) \) cắt nhau tại một điểm duy nhất có tọa độ là \( (1; 1) \). Điều này có nghĩa là đường thẳng \( (d) \) tiếp xúc với parabol \( (P) \) tại điểm đó.

b) Tìm m để \( (d) \) và \( (P) \) cắt nhau tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung và có hoành độ \( x_1,x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2+(m-1)x_2 =7 \)

Chúng ta cần xem xét ba điều kiện sau:

Điều kiện 1: \( (d) \) và \( (P) \) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Để phương trình hoành độ giao điểm \( x^2 – (m-1)x + (m-2) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, biệt thức delta (Δ) phải lớn hơn 0.

\( \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \Delta = (-(m-1))^2 – 4(1)(m-2) \)

\( \Delta = (m-1)^2 – 4m + 8 \)

\( \Delta = m^2 – 2m + 1 – 4m + 8 \)

\( \Delta = m^2 – 6m + 9 \)

\( \Delta = (m-3)^2 \)

Để có hai nghiệm phân biệt, \( \Delta > 0 \), tức là:

\( (m-3)^2 > 0 \)

Điều này đúng khi \( m-3 \neq 0 \), hay \( m \neq 3 \).

Điều kiện 2: Hai giao điểm nằm về hai phía của trục tung.

Điều này có nghĩa là hai hoành độ \( x_1 \) và \( x_2 \) phải trái dấu nhau, tức là tích \( x_1 \cdot x_2 < 0 \).

Theo hệ thức Vi-ét cho phương trình \( x^2 – (m-1)x + (m-2) = 0 \), ta có:

\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m-2}{1} = m-2 \)

Vậy, để \( x_1 \cdot x_2 < 0 \), ta phải có:

\( m-2 < 0 \)

\( m < 2 \)

Kết hợp Điều kiện 1 và Điều kiện 2, ta có \( m < 2 \) (vì \( m < 2 \) đã bao hàm \( m \neq 3 \)).

Điều kiện 3: Hoành độ \( x_1,x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2+(m-1)x_2 =7 \)

Vì \( x_1 \) là nghiệm của phương trình \( x^2 – (m-1)x + (m-2) = 0 \), nên ta có:

\( x_1^2 – (m-1)x_1 + (m-2) = 0 \)

Từ đó, ta có thể biểu diễn \( x_1^2 \) như sau:

\( x_1^2 = (m-1)x_1 – (m-2) \)

Bây giờ, thay biểu thức này vào điều kiện đã cho \( x_1^2+(m-1)x_2 =7 \):

\( ((m-1)x_1 – (m-2)) + (m-1)x_2 = 7 \)

\( (m-1)x_1 + (m-1)x_2 – m + 2 = 7 \)

Rút gọn và nhóm các hạng tử:

\( (m-1)(x_1 + x_2) – m + 2 = 7 \)

Theo hệ thức Vi-ét, tổng hai nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(m-1)}{1} = m-1 \).

Thay \( x_1 + x_2 = m-1 \) vào phương trình trên:

\( (m-1)(m-1) – m + 2 = 7 \)

\( (m-1)^2 – m + 2 = 7 \)

Khai triển và rút gọn:

\( m^2 – 2m + 1 – m + 2 = 7 \)

\( m^2 – 3m + 3 = 7 \)

Chuyển 7 sang vế trái:

\( m^2 – 3m – 4 = 0 \)

Giải phương trình bậc hai này. Ta có thể dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử:

\( m^2 – 4m + m – 4 = 0 \)

\( m(m-4) + 1(m-4) = 0 \)

\( (m-4)(m+1) = 0 \)

Vậy, ta có hai giá trị của m là:

\( m = 4 \) hoặc \( m = -1 \)

Kiểm tra các giá trị của m với điều kiện đã tìm được:

Chúng ta đã xác định rằng để thỏa mãn các điều kiện ban đầu, m phải thỏa mãn \( m < 2 \).

• Với \( m = 4 \): Giá trị này không thỏa mãn điều kiện \( m < 2 \). Vậy, \( m = 4 \) bị loại.
• Với \( m = -1 \): Giá trị này thỏa mãn điều kiện \( m < 2 \). Vậy, \( m = -1 \) là giá trị cần tìm.

Kết luận:

Vậy, giá trị của tham số \( m \) để đường thẳng \( (d) \) và parabol \( (P) \) cắt nhau tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung và thỏa mãn điều kiện đã cho là \( m = -1 \).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn cách giải quyết dạng toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!