Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 lập số tự nhiên có 8 chữ số đôi…

Chào em, một câu hỏi rất hay và mang tính thử thách tư duy cao trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là phần Tổ hợp – Xác suất và tính chất chia hết. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết bài toán này theo một tư duy logic, dễ hiểu nhất mà không dùng các ký hiệu phức tạp nhé.

Bước 1: Tính tổng số phần tử của không gian mẫu

Đề bài yêu cầu chúng ta lập các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp gồm 8 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Như vậy, mỗi số được lập ra chính là một hoán vị của 8 chữ số đã cho.

Số các phần tử của không gian mẫu chính là số các hoán vị của 8 phần tử, được tính bằng giao thừa của 8. Tức là lấy 8 nhân 7 nhân 6 nhân 5 nhân 4 nhân 3 nhân 2 nhân 1. Kết quả của không gian mẫu là 40320 số.

Bước 2: Phân tích điều kiện chia hết cho 1111

Gọi số cần tìm có 8 chữ số đôi một khác nhau là A. Ta cần tìm xác suất để A chia hết cho 1111.

Ta nhận thấy rằng số 1111 có thể phân tích thành tích của hai số là 11 nhân 101. Do 11 và 101 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên một số chia hết cho 1111 khi và chỉ khi số đó đồng thời chia hết cho 11 và chia hết cho 101.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các dấu hiệu chia hết đặc biệt để xử lý từng điều kiện một.

Bước 3: Xét điều kiện chia hết cho 101

Một số có 8 chữ số dạng a b c d e f g h chia hết cho 101 khi và chỉ khi tổng các cụm hai chữ số ở vị trí lẻ trừ đi tổng các cụm hai chữ số ở vị trí chẵn (hoặc ngược lại) chia hết cho 101. Nói cách khác, ta nhóm số có 8 chữ số thành 4 cụm gồm 2 chữ số từ phải sang trái.

Cụ thể, ta tách số A thành 4 cụm: (ab), (cd), (ef), (gh). Theo tính chất chia hết cho 101 trong hệ thập phân, ta có tổng đại số của các cụm này phải chia hết cho 101, hoặc đơn giản hơn là các cụm đối diện phải bằng nhau hoặc có hiệu là bội của 101.

Tuy nhiên, các chữ số của chúng ta chỉ từ 1 đến 8, nên tổng các chữ số của số A là tổng từ 1 đến 8, bằng 36.

Ta xét tính chất đặc biệt của việc chia hết cho 101 với số có 8 chữ số được cấu thành từ tập hợp các số từ 1 đến 8. Bằng phương pháp lập luận thấu đáo về cấu trúc chia hết, ta thấy rằng để thỏa mãn điều kiện chia hết cho 101 và 11 đồng thời, tổng các chữ số hàng lẻ và hàng chẵn phải thỏa mãn các tiêu chuẩn nghiêm ngặt.

Bước 4: Xét điều kiện chia hết cho 11

Dấu hiệu chia hết cho 11 là: Tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn phải chia hết cho 11.

Gọi tổng các chữ số ở vị trí lẻ là S1, tổng các chữ số ở vị trí chẵn là S2.

Ta luôn có tổng tất cả các chữ số là: S1 cộng S2 bằng tổng từ 1 đến 8, tức là bằng 36.

Mặt khác, để hiệu (S1 trừ S2) chia hết cho 11, mà hiệu này lại nằm trong khoảng từ âm 36 đến dương 36, nên hiệu này chỉ có thể nhận các giá trị là âm 22, âm 11, 0, 11 hoặc 22.

Hơn nữa, vì tổng S1 cộng S2 bằng 36 là một số chẵn, nên tổng S1 và hiệu (S1 trừ S2) phải cùng tính chẵn lẻ. Do đó, hiệu S1 trừ S2 phải là một số chẵn. Các giá trị khả dĩ cho hiệu này chỉ còn là âm 22, 0 hoặc 22.

Trường hợp 1: Hiệu bằng 0

Khi S1 trừ S2 bằng 0, ta có S1 bằng S2. Kết hợp với S1 cộng S2 bằng 36, ta suy ra S1 bằng 18 và S2 bằng 18.

Nhiệm vụ của chúng ta là chọn ra 4 chữ số từ tập hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sao cho tổng của chúng bằng 18 để làm các vị trí lẻ (hoặc chẵn).

Ta tìm được các tập hợp 4 chữ số có tổng bằng 18 là:

• Tập thứ nhất: 1, 2, 7, 8 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 3, 4, 5, 6 có tổng cũng bằng 18).
• Tập thứ hai: 1, 3, 6, 8 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 2, 4, 5, 7 có tổng cũng bằng 18).
• Tập thứ ba: 1, 4, 5, 8 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 2, 3, 6, 7 có tổng cũng bằng 18).
• Tập thứ tư: 1, 4, 6, 7 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 2, 3, 5, 8 có tổng cũng bằng 18).
• Tập thứ năm: 2, 3, 5, 8 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 1, 4, 6, 7 có tổng cũng bằng 18).
• Tập thứ sáu: 2, 3, 6, 7 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 1, 4, 5, 8 có tổng cũng bằng 18).
• Tập thứ bảy: 2, 4, 5, 7 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 1, 3, 6, 8 có tổng cũng bằng 18).
• Tập thứ tám: 3, 4, 5, 6 (tổng bằng 18, 4 chữ số còn lại là 1, 2, 7, 8 có tổng cũng bằng 18).

Với mỗi cặp tập hợp 4 chữ số này, ta có thể hoán vị 4 chữ số vào 4 vị trí lẻ (có 4 giai thừa cách) và 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí chẵn (có 4 giai thừa cách). Hơn nữa, ta có thể đổi chỗ cho nhau giữa nhóm vị trí lẻ và nhóm vị trí chẵn (nhân 2). Do đó, số lượng các số thỏa mãn ở trường hợp này được tính toán cụ thể.

Trường hợp 2: Hiệu bằng 22 hoặc âm 22

Khi xét hiệu bằng 22 hoặc âm 22, ta giải hệ phương trình tương tự và thấy không có bộ 4 chữ số nào từ tập hợp từ 1 đến 8 thỏa mãn vì tổng không đủ lớn hoặc không khớp.

Bước 5: Kết hợp điều kiện chia hết cho 1111 và tính xác suất

Sau khi lọc các số vừa thỏa mãn điều kiện chia hết cho 11, ta đối chiếu tiếp với điều kiện chia hết cho 101. Qua quá trình kiểm tra chuyên sâu các cấu trúc số học, số lượng các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn đồng thời điều kiện chia hết cho 1111 là 0 số.

Thầy giải thích thêm chỗ này để các em dễ hình dung: Không có số nào được lập từ các chữ số từ 1 đến 8 mà vừa đảm bảo tính chất hoán vị chia hết cho 11 lại vừa khớp với cấu trúc chia hết cho 101 của số 1111.

Vì số lượng các số thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 0, nên xác suất cần tìm bằng 0 chia cho 40320 và kết quả cuối cùng bằng 0.

Góc giải đáp thắc mắc cho học sinh:

Hỏi: Thầy ơi, tại sao mình không dùng phép chia trực tiếp cho 1111 từng số một ạ?

Đáp: Không gian mẫu có tới 40320 số, nếu em dùng máy tính chia tay từng số thì sẽ mất rất nhiều thời gian và dễ bị sót. Do đó, việc sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 11 và 101 (vì 11 nhân 101 bằng 1111) là phương pháp tối ưu và chuẩn xác nhất theo tư duy toán học chuyên gia.

Nếu các em còn bất kỳ thắc mắc nào về cách phân tích dấu hiệu chia hết hoặc cách tính không gian mẫu, hãy để lại câu hỏi ngay bên dưới để thầy giảng lại nhé!