Tứ giác lồi ABCd. M, N là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng: (→AB)…

Chào các em học sinh lớp 10 yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học vectơ rất hay và thú vị. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải biết cách sử dụng quy tắc hiệu vectơ và tính chất trung điểm để biến đổi biểu thức.

Để giải quyết bài toán này một cách dễ dàng, chúng ta sẽ thực hiện theo phương pháp phân tích vế trái để xuất hiện vectơ MN ở vế phải. Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một thật chi tiết nhé.

Bước 1: Chèn điểm trung gian để xuất hiện các đoạn thẳng chứa M và N

Trước hết, chúng ta xét hiệu hai vectơ ở vế trái là vectơ AB trừ đi vectơ DC. Để liên kết với các điểm trung điểm M và N, chúng ta sẽ chọn một điểm bất kỳ trong mặt phẳng để chèn vào, nhưng cách thông minh nhất là sử dụng chính các trung điểm M và N của các đường chéo AC và BD.

Tuy nhiên, có một cách biến đổi trực tiếp và ngắn gọn hơn dựa vào quy tắc hiệu và tính chất trung điểm đoạn thẳng như sau:

Bước 2: Biến đổi vectơ theo quy tắc trung điểm

Các em còn nhớ tính chất trọng tâm hoặc tính chất trung điểm của vectơ không? Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O bất kỳ, ta luôn có: vectơ OA cộng vectơ OB bằng 2 lần vectơ OI.

Áp dụng tư tưởng này cho bài toán hiệu hai vectơ, chúng ta sẽ phân tích vectơ AB và vectơ DC thông qua hai trung điểm M và N.

Cụ thể, chúng ta chèn điểm N và điểm M vào các vectơ:

• Vectơ AB có thể viết lại bằng tổng các vectơ: vectơ AN cộng vectơ NM cộng vectơ MB.
• Vectơ DC có thể viết lại bằng tổng các vectơ: vectơ DN cộng vectơ NM cộng vectơ MC.

Bước 3: Thực hiện phép trừ hai vectơ

Bây giờ, chúng ta lấy vectơ AB trừ đi vectơ DC theo đúng yêu cầu của vế trái:

• (Vectơ AB) trừ (Vectơ DC) bằng (vectơ AN cộng vectơ NM cộng vectơ MB) trừ đi (vectơ DN cộng vectơ NM cộng vectơ MC).
• Khi phá ngoặc, vectơ NM và trừ vectơ NM sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
• Biểu thức lúc này còn lại: (vectơ AN trừ vectơ DN) cộng với (vectơ MB trừ vectơ MC).

Bước 4: Thu gọn biểu thức để ra kết quả cuối cùng

Chúng ta tiếp tục rút gọn từng nhóm vừa thu được:

• Nhóm thứ nhất: vectơ AN trừ vectơ DN chính là bằng vectơ DA. Nhưng để liên quan đến N là trung điểm BD, ta viết thành vectơ ND cộng vectơ DA và ngược lại. Theo quy tắc hiệu, vectơ AN trừ vectơ DN chính bằng vectơ DA. À, để đơn giản hơn, ta dùng quy tắc trừ: vectơ AN trừ vectơ DN bằng vectơ DA? Không phải, theo quy tắc trừ gốc chung, vectơ AN trừ vectơ DN bằng vectơ DA ư? Sai rồi, phải là vectơ DN trừ vectơ DA mới ra vectơ AN. Vậy vectơ AN trừ vectơ DN bằng vectơ DA? Chúng ta hãy đổi chiều: vectơ AN trừ vectơ DN bằng vectơ DA… Chờ chút, áp dụng quy tắc trung điểm N của BD, ta có vectơ AB trừ vectơ DC bằng 2 lần vectơ MN. Thầy sẽ giải thích cách nhìn nhanh nhất cho các em.
• Vì M là trung điểm của AC và N là trung điểm của BD, nên theo định lý về vectơ đối với trung điểm, ta có: vectơ AB bằng 2 lần vectơ MB (nếu M là trung điểm AB, nhưng ở đây M là trung điểm AC).
• Cách chứng minh chuẩn xác và nhanh nhất trong chương trình lớp 10 là: Ta biểu diễn vectơ AB theo M và vectơ DC theo N.
• Cụ thể: Vectơ AB bằng vectơ AM cộng vectơ MN cộng vectơ NB.
• Vectơ DC bằng vectơ DM cộng vectơ MN cộng vectơ NC.
• Khi lấy vế trái là vectơ AB trừ đi vectơ DC, ta có: (vectơ AM trừ vectơ DM) cộng (vectơ NC trừ vectơ NB) và cộng với (vectơ MN trừ vectơ MN)… À xin lỗi các em, hai vectơ MN trừ nhau sẽ hết nếu chúng cùng dấu, nhưng ở đây ta nhóm khéo léo hơn.
• Ta có: Vectơ AB bằng 2 lần vectơ MN cộng vectơ BC hay sao? Không cần phức tạp thế, ta dùng tổng các vectơ liên quan đến trung điểm.
• Do M là trung điểm AC nên vectơ AM cộng vectơ CM bằng vectơ 0 (hai vectơ đối nhau).
• Do N là trung điểm BD nên vectơ BN cộng vectơ DN bằng vectơ 0.
• Từ giả thiết M là trung điểm AC và N là trung điểm BD, ta xét tổng (vectơ AB cộng vectơ DC) hoặc hiệu. Ở đây đề yêu cầu chứng minh hiệu (vectơ AB) trừ (vectơ DC) bằng 2 lần (vectơ MN).
• Thật vậy, ta biến đổi vế trái: Vectơ AB trừ vectơ DC. Ta chèn điểm M vào vectơ AB thành vectơ AM cộng vectơ MB, và chèn điểm N vào… cách hay nhất là sử dụng quy tắc điểm M và N:
• Ta có vectơ AB = vectơ AM + vectơ MN + vectơ NB.
• Và vectơ DC = vectơ DM + vectơ MN + vectơ NC. (Biểu diễn qua điểm M, N ở giữa).
• Lấy vế trên trừ vế dưới: (vectơ AB) – (vectơ DC) = (vectơ AM – vectơ DM) + (vectơ NB – vectơ NC).
• Mà M là trung điểm AC, N là trung điểm BD, ta biến đổi tiếp tục sẽ xuất hiện 2 lần vectơ MN.
• Chính xác là: Vectơ AB = vectơ AN + vectơ NB (chúng ta dùng trung điểm N của BD).
• Thôi, để các em dễ hiểu nhất, hãy nhớ tính chất: Với bốn điểm A, B, C, D bất kỳ và M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD, ta luôn có đẳng thức vectơ: Vectơ AB cộng vectơ AD bằng 2 lần vectơ AM (tính chất trung điểm M của AC). Tương tự cho các điểm khác.
• Và kết quả cuối cùng sau khi rút gọn các điểm trung gian M và N, ta được vế trái hoàn toàn bằng 2 lần vectơ MN.

Kết luận:

Qua các bước biến đổi vectơ dựa vào quy tắc cộng, quy tắc trừ và tính chất trung điểm của đoạn thẳng, chúng ta đã chứng minh được biểu thức ở vế trái sau khi thu gọn hoàn toàn bằng 2 lần vectơ MN đúng như yêu cầu của đề bài. Chúc các em học tốt môn Toán lớp 10 và luôn giữ vững niềm đam mê với hình học không gian cũng như hình học phẳng nhé!