Chào các em học sinh lớp 9,

Thầy/Cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài toán hình học này. Đây là một bài toán khá hay, giúp chúng ta ôn lại kiến thức về diện tích, chu vi và các khái niệm về cực trị (giá trị lớn nhất, nhỏ nhất) của hàm số bậc hai.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài giải:

Trước hết, chúng ta hãy hình dung lại đề bài. Chúng ta có một tấm bìa hình vuông \(ABCD\). Từ tấm bìa này, chúng ta sẽ cắt ra một hình vuông nhỏ hơn \(MNPQ\) sao cho các đỉnh \(M, N, P, Q\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AB, BC, CD, DA\) của hình vuông lớn.

Để tiện cho việc tính toán, chúng ta hãy gọi độ dài cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(a\).

Phần a: Xác định vị trí các điểm \(M, N, P, Q\) để diện tích hình vuông \(MNPQ\) nhỏ nhất.

Giả sử \(M\) là một điểm trên cạnh \(AB\). Đặt độ dài đoạn \(AM = x\).
Vì \(M\) nằm trên cạnh \(AB\), nên \(x\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le a\).

Vì \(MNPQ\) là một hình vuông, nên tất cả các cạnh của nó phải bằng nhau (\(MN = NP = PQ = QM\)) và các góc của nó đều bằng \(90^\circ\).

Hãy xét bốn tam giác vuông ở các góc của hình vuông \(ABCD\): \(\triangle AMQ\), \(\triangle BMN\), \(\triangle CPN\), \(\triangle DPQ\).

1. Chứng minh các tam giác ở góc là tam giác vuông bằng nhau:

Xét \(\triangle AMQ\) và \(\triangle BMN\):

• \(\angle A = \angle B = 90^\circ\) (vì \(ABCD\) là hình vuông).
• \(QM = MN\) (vì \(MNPQ\) là hình vuông).

Gọi \(\angle AMQ = \alpha\).
Vì \(A, M, B\) thẳng hàng (M nằm trên AB), ta có:
\(\angle AMQ + \angle QMN + \angle NMB = 180^\circ\).
Mà \(\angle QMN = 90^\circ\) (vì \(MNPQ\) là hình vuông).
Nên, \(\alpha + 90^\circ + \angle NMB = 180^\circ \implies \angle NMB = 90^\circ – \alpha\).

Trong \(\triangle BMN\), tổng ba góc bằng \(180^\circ\):
\(\angle BMN + \angle MNB + \angle NBM = 180^\circ\).
\((90^\circ – \alpha) + \angle MNB + 90^\circ = 180^\circ\).
\(\implies \angle MNB = \alpha\).

Như vậy, \(\triangle AMQ\) và \(\triangle BMN\) có:

• \(\angle A = \angle B = 90^\circ\)
• \(QM = MN\) (cạnh huyền)
• \(\angle AQM = 90^\circ – \angle AMQ = 90^\circ – \alpha\)
• \(\angle BMN = 90^\circ – \alpha\)

Do đó, \(\triangle AMQ = \triangle BMN\) (theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn).

Tương tự, chúng ta cũng có thể chứng minh được \(\triangle CPN = \triangle BMN\) và \(\triangle DPQ = \triangle AMQ\).

Từ sự bằng nhau của các tam giác này, chúng ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:

• \(AM = BN = CP = DQ\)
• \(AQ = BM = CN = DP\)

2. Thiết lập biểu thức diện tích hình vuông \(MNPQ\):

Chúng ta đã đặt \(AM = x\).

Từ các kết quả trên, ta có:
\(BN = x\).
\(BM = AB – AM = a – x\).
\(AQ = BM = a – x\).
\(CP = BN = x\).
\(CN = BC – BN = a – x\).
\(DP = CN = a – x\).
\(DQ = AM = x\).
\(AQ = AD – DQ = a – x\). (Phù hợp với kết quả ở trên).

Bây giờ, chúng ta tính độ dài cạnh \(s\) của hình vuông \(MNPQ\).
Áp dụng định lý Pythagoras cho \(\triangle AMQ\):

\(s^2 = QM^2 = AM^2 + AQ^2\)
\(s^2 = x^2 + (a – x)^2\)
\(s^2 = x^2 + (a^2 – 2ax + x^2)\)
\(s^2 = 2x^2 – 2ax + a^2\)

Diện tích của hình vuông \(MNPQ\), ký hiệu là \(S_{MNPQ}\), chính là \(s^2\).
\(S_{MNPQ} = 2x^2 – 2ax + a^2\)

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích:

Biểu thức diện tích \(S_{MNPQ} = 2x^2 – 2ax + a^2\) là một hàm số bậc hai với biến \(x\).
Đây là một parabol có hệ số của \(x^2\) là \(2 > 0\), nên parabol này có bề lõm hướng lên trên, và nó đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.

Tọa độ hoành độ của đỉnh parabol được tính bằng công thức \(x = -\frac{b}{2c}\) (trong đó hàm số có dạng \(cx^2 + bx + d\)).
Trong trường hợp này, \(c=2\), \(b=-2a\).
Vậy, giá trị \(x\) để diện tích nhỏ nhất là:
\(x = -\frac{-2a}{2 \cdot 2} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}\).

Giá trị \(x = a/2\) nằm trong khoảng \(0 \le x \le a\), nên đây là một giá trị hợp lệ.

Kết luận phần a:

Diện tích hình vuông \(MNPQ\) nhỏ nhất khi \(x = \frac{a}{2}\). Điều này có nghĩa là \(AM = \frac{a}{2}\).
Khi đó, \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Do các tam giác ở góc là bằng nhau, nên \(N, P, Q\) cũng lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CD, DA\).

Phần b: Khi chu vi hình vuông \(MNPQ\) là nhỏ nhất, tính chu vi \(MNPQ\).

Chu vi của hình vuông \(MNPQ\) được tính bằng \(P_{MNPQ} = 4s\), trong đó \(s\) là độ dài cạnh của hình vuông \(MNPQ\).
Để chu vi \(MNPQ\) nhỏ nhất, thì độ dài cạnh \(s\) phải nhỏ nhất. Mà \(s\) nhỏ nhất khi \(s^2\) (diện tích) nhỏ nhất.

Vậy, điều kiện để chu vi \(MNPQ\) nhỏ nhất cũng chính là khi \(M, N, P, Q\) là các trung điểm của các cạnh của hình vuông \(ABCD\), tức là khi \(x = \frac{a}{2}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ tính độ dài cạnh \(s\) của hình vuông \(MNPQ\) khi \(x = \frac{a}{2}\):

Thay \(x = \frac{a}{2}\) vào biểu thức \(s^2 = 2x^2 – 2ax + a^2\):
\(s^2 = 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 – 2a\left(\frac{a}{2}\right) + a^2\)
\(s^2 = 2\left(\frac{a^2}{4}\right) – a^2 + a^2\)
\(s^2 = \frac{a^2}{2}\)

Từ đó, độ dài cạnh \(s\) là:
\(s = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Chu vi của hình vuông \(MNPQ\) là:
\(P_{MNPQ} = 4s = 4 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = 2a\sqrt{2}\)

Kết luận phần b:

Khi chu vi hình vuông \(MNPQ\) nhỏ nhất, chu vi đó bằng \(2a\sqrt{2}\), trong đó \(a\) là độ dài cạnh của hình vuông \(ABCD\).

Hy vọng phần giải thích này chi tiết và dễ hiểu đối với các em. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại thầy/cô nhé!