Chào các em học sinh! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về dao động điều hòa rất thú vị. Đây là một dạng bài thường gặp trong các kỳ kiểm tra, nên các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Đề bài: Vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = 5 \cos (10 \pi t – \pi / 2 ) \text{ cm}\). Thời gian vật đi được quãng đường bằng \(12,5 \text{ cm}\) (kể từ \(t = 0\)) là bao nhiêu?

Để giải bài này một cách chi tiết, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích phương trình dao động để xác định các đại lượng cơ bản.

Phương trình dao động điều hòa tổng quát có dạng: \(x = A \cos (\omega t + \varphi)\)

So sánh với phương trình đề bài cho: \(x = 5 \cos (10 \pi t – \pi / 2 ) \text{ cm}\)

• Biên độ dao động: \(A = 5 \text{ cm}\)
• Tần số góc: \(\omega = 10 \pi \text{ rad/s}\)
• Pha ban đầu: \(\varphi = – \pi / 2 \text{ rad}\)

Từ tần số góc \(\omega\), chúng ta có thể tính được chu kỳ dao động \(T\):

\(T = 2\pi / \omega = 2\pi / (10\pi) = 1/5 = 0,2 \text{ s}\)

Bước 2: Xác định vị trí ban đầu và chiều chuyển động của vật tại \(t = 0\).

Thay \(t = 0\) vào phương trình li độ \(x\):

\(x(0) = 5 \cos (10 \pi \cdot 0 – \pi / 2 ) = 5 \cos (- \pi / 2) = 5 \cdot 0 = 0 \text{ cm}\)

Vậy, tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), vật đang ở vị trí cân bằng.

Để xác định chiều chuyển động, chúng ta xét dấu của vận tốc \(v\) tại \(t = 0\). Phương trình vận tốc có dạng:

\(v = x’ = -A \omega \sin (\omega t + \varphi)\)

\(v(0) = -5 \cdot 10\pi \sin (10 \pi \cdot 0 – \pi / 2 ) = -50\pi \sin (- \pi / 2) = -50\pi \cdot (-1) = 50\pi \text{ cm/s}\)

Vì \(v(0) > 0\), vật đang chuyển động theo chiều dương tại thời điểm ban đầu.

Tóm lại, tại \(t=0\), vật ở vị trí cân bằng (\(x=0\)) và đang chuyển động theo chiều dương.

Bước 3: Phân tích quãng đường cần tìm (\(S = 12,5 \text{ cm}\)).

Quãng đường cần tìm là \(S = 12,5 \text{ cm}\).

Chúng ta biết biên độ \(A = 5 \text{ cm}\).

Ta có thể viết quãng đường \(S\) dưới dạng bội của biên độ \(A\):

\(S = 12,5 = 2 \cdot 5 + 2,5 = 2A + 2,5 \text{ cm}\)

Điều này có nghĩa là vật sẽ đi được \(2A\) rồi sau đó đi thêm \(2,5 \text{ cm}\) nữa.

Bước 4: Tính thời gian vật đi quãng đường \(2A\).

Vật bắt đầu từ vị trí cân bằng (\(x=0\)), chuyển động theo chiều dương.

• Để đi được quãng đường \(A\) đầu tiên (từ \(x=0\) đến \(x=A\)), vật mất thời gian \(T/4\).
• Sau đó, để đi được quãng đường \(A\) tiếp theo (từ \(x=A\) về \(x=0\)), vật cũng mất thời gian \(T/4\).

Như vậy, tổng thời gian để vật đi được quãng đường \(2A = 10 \text{ cm}\) là:

\(t_1 = T/4 + T/4 = T/2\)

\(t_1 = 0,2 \text{ s} / 2 = 0,1 \text{ s}\)

Tại thời điểm \(t_1 = 0,1 \text{ s}\), vật đang ở vị trí cân bằng (\(x=0\)).

Để xác định chiều chuyển động tại thời điểm này, chúng ta có thể nhìn vào pha dao động:

• Tại \(t=0\), pha là \(-\pi/2\).
• Sau \(T/2\), pha sẽ tăng thêm \(\omega \cdot T/2 = (10\pi) \cdot (0,1) = \pi \text{ rad}\).
• Vậy, pha tại \(t_1 = 0,1 \text{ s}\) là \(\psi_1 = -\pi/2 + \pi = \pi/2 \text{ rad}\).

Với pha \(\pi/2\), ta có \(x = 5 \cos(\pi/2) = 0\) và \(v = -50\pi \sin(\pi/2) = -50\pi < 0\). Điều này có nghĩa là vật đang ở vị trí cân bằng và chuyển động theo chiều âm.

Bước 5: Tính thời gian vật đi quãng đường còn lại (\(2,5 \text{ cm}\)).

Sau khi đi được \(10 \text{ cm}\) trong \(0,1 \text{ s}\), vật đang ở \(x=0\) và chuyển động theo chiều âm. Chúng ta cần tìm thời gian để vật đi thêm \(2,5 \text{ cm}\).

Vì vật đang ở \(x=0\) và đi theo chiều âm, nó sẽ đi từ \(x=0\) đến \(x = -2,5 \text{ cm}\).

Chúng ta cần tìm thời điểm \(t\) sao cho li độ của vật là \(x = -2,5 \text{ cm}\) (kể từ \(t=0\)), và tổng quãng đường đã đi là \(12,5 \text{ cm}\).

Đặt \(x = -2,5 \text{ cm}\) vào phương trình dao động:

\(-2,5 = 5 \cos (10 \pi t – \pi / 2 )\)

\(\cos (10 \pi t – \pi / 2 ) = -2,5 / 5 = -0,5\)

Ta tìm góc \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha = -0,5\). Các giá trị của \(\alpha\) là \(2\pi/3 + k2\pi\) hoặc \(-2\pi/3 + k2\pi\).

Chúng ta đang xét chuyển động sau thời điểm \(t_1 = 0,1 \text{ s}\), khi pha dao động là \(\pi/2\) và vật đang đi theo chiều âm.

Pha dao động \(10 \pi t – \pi / 2\) sẽ tăng dần theo thời gian.

Từ \(\pi/2\) (khi \(x=0\), \(v<0\)), pha sẽ tiếp tục tăng. Giá trị đầu tiên của pha sao cho \(\cos(\text{pha}) = -0,5\) sau \(\pi/2\) là \(2\pi/3\).

Vậy, ta có:

\(10 \pi t – \pi / 2 = 2\pi / 3\)

\(10 \pi t = 2\pi / 3 + \pi / 2\)

\(10 \pi t = 4\pi / 6 + 3\pi / 6\)

\(10 \pi t = 7\pi / 6\)

\(t = (7\pi / 6) / (10\pi)\)

\(t = 7 / 60 \text{ s}\)

Bước 6: Kiểm tra lại quãng đường đã đi.

Tại \(t = 7/60 \text{ s}\), li độ của vật là \(x = -2,5 \text{ cm}\).

Quãng đường đi được từ \(t=0\) đến \(t=7/60 \text{ s}\) là:

• Từ \(t=0\) đến \(t=T/4 = 1/20 \text{ s}\): vật đi từ \(x=0\) đến \(x=+A\). Quãng đường \(S_1 = A = 5 \text{ cm}\).
• Từ \(t=1/20 \text{ s}\) đến \(t=T/2 = 2/20 = 1/10 \text{ s}\): vật đi từ \(x=+A\) về \(x=0\). Quãng đường \(S_2 = A = 5 \text{ cm}\).
• Từ \(t=1/10 \text{ s}\) đến \(t=7/60 \text{ s}\): vật đi từ \(x=0\) đến \(x=-2,5 \text{ cm}\). Quãng đường \(S_3 = |-2,5 – 0| = 2,5 \text{ cm}\).

Tổng quãng đường đi được là \(S = S_1 + S_2 + S_3 = 5 + 5 + 2,5 = 12,5 \text{ cm}\).

Kết quả này khớp với yêu cầu của đề bài.

Kết luận:

Thời gian vật đi được quãng đường bằng \(12,5 \text{ cm}\) (kể từ \(t = 0\)) là \(t = 7/60 \text{ s}\).

Để dễ hình dung, các em có thể vẽ trục tọa độ hoặc vòng tròn lượng giác để theo dõi vị trí và chiều chuyển động của vật nhé.

Chúc các em học tốt!