Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về chuyển động rơi tự do. Bài toán này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa quãng đường và thời gian trong chuyển động này.

Đề bài: Một vật rơi tự do. 1/4 quãng đường đầu đi với thời gian t1 và 3/4 quãng đường còn lại đi với thời gian t2. Tính tỉ số \( \frac{t_1}{t_2} \).

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần nhớ lại công thức tính quãng đường đi được trong chuyển động rơi tự do. Vật rơi tự do là chuyển động thẳng biến đổi đều, với gia tốc là gia tốc trọng trường g. Giả sử vật bắt đầu rơi từ trạng thái nghỉ, nên vận tốc ban đầu \( v_0 = 0 \).

Công thức tính quãng đường s đi được sau thời gian t là:

\( s = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2 \)

Vì \( v_0 = 0 \), nên công thức trở thành:

\( s = \frac{1}{2} g t^2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này vào từng phần của bài toán.

Giải bài toán:

Gọi S là tổng quãng đường vật rơi.

Trường hợp 1: 1/4 quãng đường đầu tiên.

Quãng đường đi được trong thời gian \( t_1 \) là \( s_1 = \frac{1}{4} S \).

Áp dụng công thức quãng đường, ta có:

\( s_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \)

Thay \( s_1 = \frac{1}{4} S \) vào, ta được:

\( \frac{1}{4} S = \frac{1}{2} g t_1^2 \) (1)

Trường hợp 2: 3/4 quãng đường còn lại.

Điều này có nghĩa là tổng quãng đường vật đi được trong thời gian \( t_1 + t_2 \) là S.

Vậy, ta có:

\( S = \frac{1}{2} g (t_1 + t_2)^2 \) (2)

Tìm tỉ số \( \frac{t_1}{t_2} \):

Chúng ta có hai phương trình (1) và (2). Chúng ta cần tìm cách loại bỏ S và g để chỉ còn lại \( t_1 \) và \( t_2 \).

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn S theo \( t_1 \):

\( S = 4 \times \frac{1}{2} g t_1^2 = 2 g t_1^2 \)

Bây giờ, thay biểu thức của S này vào phương trình (2):

\( 2 g t_1^2 = \frac{1}{2} g (t_1 + t_2)^2 \)

Chúng ta có thể giản ước g ở cả hai vế (vì g khác 0):

\( 2 t_1^2 = \frac{1}{2} (t_1 + t_2)^2 \)

Nhân cả hai vế với 2:

\( 4 t_1^2 = (t_1 + t_2)^2 \)

Lấy căn bậc hai cả hai vế. Lưu ý rằng thời gian luôn dương, nên ta có:

\( \sqrt{4 t_1^2} = \sqrt{(t_1 + t_2)^2} \)
\( 2 t_1 = t_1 + t_2 \)

Bây giờ, ta chuyển \( t_1 \) sang một vế để tìm mối liên hệ giữa \( t_1 \) và \( t_2 \):

\( 2 t_1 – t_1 = t_2 \)
\( t_1 = t_2 \)

Vậy, tỉ số \( \frac{t_1}{t_2} \) là:

\( \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_2}{t_2} = 1 \)

Kiểm tra lại:

Nếu \( t_1 = t_2 \), thì quãng đường đi được trong thời gian \( t_1 \) là \( s_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \).

Tổng thời gian để đi hết quãng đường S là \( t_1 + t_2 = 2 t_1 \). Quãng đường đi được là \( S = \frac{1}{2} g (2 t_1)^2 = \frac{1}{2} g (4 t_1^2) = 2 g t_1^2 \).

Ta thấy \( s_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \), và \( S = 2 g t_1^2 \). Rõ ràng \( s_1 = \frac{1}{4} S \).

Quãng đường còn lại là \( S – s_1 = S – \frac{1}{4} S = \frac{3}{4} S \). Thời gian đi quãng đường này là \( t_2 = t_1 \).

Vậy, bài toán đã được giải đúng.

Kết luận:

Tỉ số \( \frac{t_1}{t_2} \) là 1.

Các em có câu hỏi nào không?