vẽ hình này M là một điểm nằm trong tâm giác đều ABC. qua M kẻ các…

Chào em, thầy là giáo viên Toán đây. Bài toán hình học lớp 8 này rất hay và quen thuộc, liên quan đến tính chất tam giác đều, hình thang cân và tổng chu vi. Em hãy chuẩn bị giấy bút, thước kẻ và compa để cùng thầy giải quyết từng ý một nhé.

PHẦN 1: HƯỚNG DẪN CÁCH VẼ HÌNH

Để vẽ hình chính xác và dễ nhìn, em hãy thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Vẽ tam giác đều ABC (3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng 60 độ). Đặt đỉnh A ở trên, đỉnh B ở dưới bên trái, đỉnh C ở dưới bên phải.
• Bước 2: Lấy một điểm M tùy ý nằm ở bên trong tam giác ABC.
• Bước 3: Qua M, vẽ đường thẳng thứ nhất song song với cạnh BC, cắt cạnh AB tại điểm P và cắt cạnh AC tại điểm R.
• Bước 4: Qua M, vẽ đường thẳng thứ hai song song với cạnh CA, cắt cạnh BC tại điểm Q (lưu ý đề bài của em có chữ Q thay vì D ở tam giác PQD nên thầy sẽ dùng điểm Q theo đúng hệ thống các điểm P, Q, R nhé).
• Bước 5: Qua M, vẽ đường thẳng thứ ba song song với cạnh AB, cắt cạnh BC và CA (thực tế đường thẳng này nối dài sẽ hoàn thiện tam giác PQR).

PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT CHO TỪNG CÂU

A) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân

• Theo cách dựng hình, ta có đoạn thẳng MP nằm trên đường thẳng song song với BC, mà B và C nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. Do đó, đường thẳng MP song song với đường thẳng AB hay chính là cạnh AC của tam giác (chỉnh lại: MP song song với BC, và MR song song với AB). Thầy nói lại cho chuẩn: Qua M kẻ đường song song với BC cắt AB tại P, nên MP song song với BC hay MP song song với QC. Qua M kẻ đường song song với AB cắt AC tại R, nên MR song song với AB hay MR song song với PB.
• Xét tứ giác APMR có: MR song song với AP (vì MR nằm trên đường thẳng song song với AB và P nằm trên AB). Do đó, tứ giác APMR là hình thang (vì có hai cạnh đáy hoặc cặp cạnh đối song song).
• Để chứng minh hình thang này là hình thang cân, ta cần chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau. Cụ thể là góc A bằng góc góc P trong hình thang APMR.
• Vì tam giác ABC là tam giác đều nên góc A bằng 60 độ.
• Mặt khác, vì MR song song với AB nên góc PMR bằng góc B (hai góc đồng vị). Mà tam giác ABC đều nên góc B bằng 60 độ, suy ra góc PMR bằng 60 độ.
• Hình thang APMR có góc A bằng 60 độ và góc P (hoặc góc MRQ) tương ứng tạo nên góc cân. Thực tế, tam giác APM có góc A bằng 60 độ và góc APM bằng góc B bằng 60 độ, nên tam giác APM là tam giác đều. Do đó AP bằng MP.
• Một hình thang có hai đường chéo hoặc hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân. Ở đây ta dễ dàng suy ra APMR là hình thang cân.

B) Chứng minh chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA cộng MB cộng MC

• Chu vi tam giác PQR được tính bằng tổng độ dài ba cạnh: PQ cộng QR cộng RP.
• Bằng tính chất của các hình bình hành được tạo thành từ các đường thẳng song song qua M (ví dụ các hình bình hành nhỏ bên trong), ta có các đoạn thẳng song song bằng nhau:
  • Độ dài đoạn PQ bằng độ dài đoạn MB.
  • Độ dài đoạn QR bằng độ dài đoạn MC.
  • Độ dài đoạn RP bằng độ dài đoạn MA.
• Khi cộng ba cạnh của tam giác PQR lại với nhau, ta sẽ có: Chu vi tam giác PQR bằng PQ cộng QR cộng RP, thay thế bằng các đoạn thẳng tương ứng ta được MA cộng MB cộng MC.
• Điều này đã được chứng minh rất gọn gàng nhờ vào tính chất đoạn chắn song song.

C) Tìm vị trí của M để tam giác PQR là tam giác đều

• Em hãy nhớ lại ở câu A, ta đã chứng minh được tam giác APM là tam giác đều (nếu tam giác PQR đều thì các tam giác nhỏ xung quanh cũng có tính chất đặc biệt).
• Để tam giác PQR trở thành tam giác đều, thì ba cạnh của nó phải bằng nhau, tức là PQ bằng QR bằng RP.
• Từ kết quả câu B (PQ bằng MB, QR bằng MC, RP bằng MA), điều kiện để tam giác PQR đều là MB bằng MC bằng MA.
• Trong một tam giác đều ABC, điểm cách đều ba đỉnh A, B, C chính là trọng tâm, đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác đó.
• Vậy vị trí của điểm M cần tìm chính là trọng tâm của tam giác đều ABC (hoặc là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao trong tam giác ABC).

Chúc em học tốt và vẽ hình thật đẹp vào vở nhé! Nếu chỗ nào chưa hiểu, em cứ hỏi lại thầy nha.