Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải các bài tập về hằng đẳng thức đáng nhớ ngày hôm nay. Đây là một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Nắm vững các hằng đẳng thức sẽ giúp các em giải bài tập nhanh hơn và chính xác hơn rất nhiều đấy!

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 1: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu

a) \( (x-2y)^2 -4(x-2y) +4 \)

Lời giải:

Để viết biểu thức này dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu, chúng ta cần nhận diện dạng của nó.

Chúng ta có thể thấy biểu thức có dạng \( A^2 – 2AB + B^2 \). Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (A – B)^2 \).

Trong biểu thức này:

– Hạng tử đầu tiên là \( (x-2y)^2 \). Vậy, chúng ta có thể đặt \( A = (x-2y) \).

– Hạng tử cuối cùng là \( 4 \). Chúng ta có thể viết \( 4 \) dưới dạng \( B^2 = 2^2 \). Vậy, \( B = 2 \).

– Hạng tử ở giữa là \( -4(x-2y) \). Chúng ta kiểm tra xem nó có đúng là \( -2AB \) không:

\( -2AB = -2 \cdot (x-2y) \cdot 2 = -4(x-2y) \).

Kết quả này khớp với biểu thức đã cho.

Vậy, biểu thức đã cho có thể viết lại thành:

\( (x-2y)^2 -4(x-2y) +4 = ((x-2y) – 2)^2 \)

\( = (x – 2y – 2)^2 \)

Kết luận: Biểu thức đã cho được viết dưới dạng bình phương của một hiệu là \( (x – 2y – 2)^2 \).

b) \( (x +3y)^2 – 12xy \)

Lời giải:

Đầu tiên, chúng ta sẽ khai triển hằng đẳng thức \( (x+3y)^2 \). Đây là bình phương của một tổng: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \).

Với \( A = x \) và \( B = 3y \), ta có:

\( (x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 \)

\( = x^2 + 6xy + 9y^2 \)

Bây giờ, chúng ta thay kết quả này vào biểu thức ban đầu:

\( (x +3y)^2 – 12xy = (x^2 + 6xy + 9y^2) – 12xy \)

Chúng ta gom các hạng tử đồng dạng:

\( = x^2 + (6xy – 12xy) + 9y^2 \)

\( = x^2 – 6xy + 9y^2 \)

Đến đây, chúng ta lại nhận thấy biểu thức có dạng \( A^2 – 2AB + B^2 \). Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (A – B)^2 \).

Trong biểu thức \( x^2 – 6xy + 9y^2 \):

– \( A^2 = x^2 \), suy ra \( A = x \).

– \( B^2 = 9y^2 = (3y)^2 \), suy ra \( B = 3y \).

– Hạng tử ở giữa là \( -6xy \). Chúng ta kiểm tra xem nó có đúng là \( -2AB \) không:

\( -2AB = -2 \cdot x \cdot 3y = -6xy \).

Kết quả này khớp với biểu thức.

Vậy, biểu thức cuối cùng có thể viết lại thành:

\( x^2 – 6xy + 9y^2 = (x – 3y)^2 \)

Kết luận: Biểu thức đã cho được viết dưới dạng bình phương của một hiệu là \( (x – 3y)^2 \).

Bài 2: Tính nhanh

a) \( 103^2 \)

Lời giải:

Để tính nhanh \( 103^2 \), chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \).

Chúng ta có thể viết \( 103 \) dưới dạng tổng của hai số tròn chục hoặc tròn trăm để dễ tính toán hơn.

\( 103 = 100 + 3 \)

Áp dụng hằng đẳng thức với \( A = 100 \) và \( B = 3 \):

\( 103^2 = (100 + 3)^2 \)

\( = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 \)

Thực hiện các phép tính:

\( 100^2 = 10000 \)

\( 2 \cdot 100 \cdot 3 = 600 \)

\( 3^2 = 9 \)

Cộng các kết quả lại:

\( 103^2 = 10000 + 600 + 9 \)

\( = 10609 \)

Kết luận: \( 103^2 = 10609 \).

b) \( 96^2 + 8 \cdot 96 + 4^2 \)

Lời giải:

Chúng ta cần nhận diện dạng của biểu thức này để áp dụng hằng đẳng thức.

Biểu thức có dạng \( A^2 + 2AB + B^2 \). Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (A + B)^2 \).

Trong biểu thức \( 96^2 + 8 \cdot 96 + 4^2 \):

– Hạng tử đầu tiên là \( 96^2 \). Vậy, chúng ta có thể đặt \( A = 96 \).

– Hạng tử cuối cùng là \( 4^2 \). Vậy, chúng ta có thể đặt \( B = 4 \).

– Hạng tử ở giữa là \( 8 \cdot 96 \). Chúng ta kiểm tra xem nó có đúng là \( 2AB \) không:

\( 2AB = 2 \cdot 96 \cdot 4 \)

\( = 8 \cdot 96 \)

Kết quả này khớp với biểu thức đã cho.

Vậy, biểu thức đã cho có thể viết lại thành:

\( 96^2 + 8 \cdot 96 + 4^2 = (96 + 4)^2 \)

Thực hiện phép cộng trong ngoặc:

\( (96 + 4)^2 = 100^2 \)

Cuối cùng, tính bình phương của \( 100 \):

\( 100^2 = 10000 \)

Kết luận: \( 96^2 + 8 \cdot 96 + 4^2 = 10000 \).

Cô hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài tập này nhé!