Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và áp dụng một hằng đẳng thức rất quan trọng, đó là hiệu hai bình phương. Hằng đẳng thức này có dạng:

\(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\)

Trong bài tập này, chúng ta sẽ làm ngược lại, tức là từ một biểu thức có dạng tích \((A – B)(A + B)\) hoặc có thể biến đổi về dạng đó, chúng ta sẽ viết nó dưới dạng hiệu hai bình phương \(A^2 – B^2\).

Nào, chúng ta cùng giải từng câu một nhé!

—

Câu a: \(a(a+1)(a-1)\)

Các em hãy quan sát kỹ biểu thức này. Chúng ta thấy có phần \((a+1)(a-1)\) rất quen thuộc phải không nào?

Theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:

\( (A – B)(A + B) = A^2 – B^2 \)

Ở đây, nếu ta coi \( A = a \) và \( B = 1 \), thì:

\( (a+1)(a-1) = (a-1)(a+1) = a^2 – 1^2 = a^2 – 1 \)

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\( a(a+1)(a-1) = a(a^2 – 1) \)

Tiếp tục nhân phân phối \(a\) vào trong ngoặc, ta được:

\( a(a^2 – 1) = a \cdot a^2 – a \cdot 1 = a^3 – a \)

Các em thấy đấy, sau khi biến đổi, chúng ta được biểu thức \(a^3 – a\). Biểu thức này không phải là hiệu của hai bình phương dạng \(X^2 – Y^2\) một cách trực tiếp với các biểu thức đa thức đơn giản. Phần \((a+1)(a-1)\) là một hiệu hai bình phương, nhưng toàn bộ biểu thức \(a(a+1)(a-1)\) thì không.

—

Câu b: \((x-2y)(x+2y)\)

Đây là một biểu thức rất dễ để áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Chúng ta có dạng \((A – B)(A + B)\).

Hãy cùng xác định \(A\) và \(B\):

• \(A = x\)
• \(B = 2y\)

Áp dụng công thức \( (A – B)(A + B) = A^2 – B^2 \), ta được:

\( (x – 2y)(x + 2y) = x^2 – (2y)^2 \)

Bây giờ, chúng ta tính bình phương của \(2y\):

\( (2y)^2 = 2^2 \cdot y^2 = 4y^2 \)

Vậy, biểu thức cuối cùng là:

\( (x – 2y)(x + 2y) = x^2 – 4y^2 \)

Đây chính là hiệu của hai bình phương! \(X^2\) là \(x^2\), và \(Y^2\) là \(4y^2\).

—

Câu c: \((x+y+1)(x-y-1)\)

Biểu thức này trông có vẻ phức tạp hơn một chút, nhưng các em đừng lo lắng nhé. Chúng ta cần một chút khéo léo để nhóm các hạng tử lại để nó xuất hiện dạng \((A – B)(A + B)\).

Hãy quan sát các hạng tử trong mỗi dấu ngoặc:

• Trong ngoặc thứ nhất: \((x+y+1)\)
• Trong ngoặc thứ hai: \((x-y-1)\)

Chúng ta muốn tạo ra một tổng và một hiệu. Hãy thử nhóm \((y+1)\) lại với nhau:

Biểu thức thứ nhất có thể viết lại là: \( x + (y+1) \)

Biểu thức thứ hai có thể viết lại là: \( x – (y+1) \)

À, bây giờ thì nó đã hiện rõ dạng \((A + B)(A – B)\) rồi phải không?

• Hãy coi \( A = x \)
• Và coi \( B = (y+1) \)

Áp dụng công thức \( (A + B)(A – B) = A^2 – B^2 \), ta được:

\( (x + (y+1))(x – (y+1)) = x^2 – (y+1)^2 \)

Vậy, biểu thức cuối cùng là:

\( (x+y+1)(x-y-1) = x^2 – (y+1)^2 \)

Đây chính là hiệu của hai bình phương! \(X^2\) là \(x^2\), và \(Y^2\) là \((y+1)^2\). Chúng ta có thể khai triển \((y+1)^2\) thêm một bước nữa nếu đề bài yêu cầu, nhưng ở dạng này đã là hiệu hai bình phương rồi.

—

Các em thấy đó, việc nhận diện và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương là rất quan trọng trong việc rút gọn và biến đổi biểu thức. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!