Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và thực hành cách viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn về dạng số hữu tỉ (phân số) hoặc hỗn số. Đây là một dạng toán quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các loại số.

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

Một số thập phân vô hạn tuần hoàn là một số có phần thập phân lặp đi lặp lại một hoặc nhiều chữ số theo một chu kỳ nhất định. Chúng ta sẽ có hai loại chính:

1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn: Là số mà chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Ví dụ: \(0,(3) = 0.333…\); \(2,(7) = 2.777…\); \(0,(12) = 0.121212…\)
2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp: Là số mà chu kỳ không bắt đầu ngay sau dấu phẩy, mà có một vài chữ số không lặp lại ở giữa. Ví dụ: \(0,5(12) = 0.5121212…\); \(5,0(3) = 5.0333…\)

Phương pháp chung để chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số:

Chúng ta sẽ đặt số thập phân cần chuyển là \(x\), sau đó lập các phương trình bằng cách nhân \(x\) với các lũy thừa của 10 để làm mất đi phần tuần hoàn, rồi trừ các phương trình cho nhau.

Bây giờ, chúng ta cùng giải chi tiết từng bài tập nhé!

1) 2,(7)

Giải:

Đặt \(x = 2,(7)\). Ta có:

\(x = 2.777…\) (1)

Vì chu kỳ có 1 chữ số (là chữ số 7), ta nhân cả hai vế của (1) với \(10^1 = 10\):

\(10x = 27.777…\) (2)

Lấy (2) trừ (1), ta được:

\(10x – x = 27.777… – 2.777…\)

\(9x = 25\)

\(x = \frac{25}{9}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 2 \frac{7}{9}\)

Vậy, \(2,(7) = \frac{25}{9} = 2 \frac{7}{9}\)

2) 15,(8)

Giải:

Đặt \(x = 15,(8)\). Ta có:

\(x = 15.888…\) (1)

Vì chu kỳ có 1 chữ số (là chữ số 8), ta nhân cả hai vế của (1) với \(10\):

\(10x = 158.888…\) (2)

Lấy (2) trừ (1), ta được:

\(10x – x = 158.888… – 15.888…\)

\(9x = 143\)

\(x = \frac{143}{9}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 15 \frac{8}{9}\)

Vậy, \(15,(8) = \frac{143}{9} = 15 \frac{8}{9}\)

3) -0,(8)

Giải:

Chúng ta sẽ chuyển số \(0,(8)\) thành phân số trước, sau đó đặt dấu trừ vào.
Đặt \(x = 0,(8)\). Ta có:

\(x = 0.888…\) (1)

Nhân (1) với 10:

\(10x = 8.888…\) (2)

Lấy (2) trừ (1):

\(10x – x = 8.888… – 0.888…\)

\(9x = 8\)

\(x = \frac{8}{9}\)

Vậy, \(-0,(8) = -\frac{8}{9}\)

Vậy, \(-0,(8) = -\frac{8}{9}\)

4) -9,(7)

Giải:

Chúng ta sẽ chuyển số \(9,(7)\) thành phân số trước, sau đó đặt dấu trừ vào.
Đặt \(x = 9,(7)\). Ta có:

\(x = 9.777…\) (1)

Nhân (1) với 10:

\(10x = 97.777…\) (2)

Lấy (2) trừ (1):

\(10x – x = 97.777… – 9.777…\)

\(9x = 88\)

\(x = \frac{88}{9}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 9 \frac{7}{9}\)

Vậy, \(-9,(7) = -\frac{88}{9}\) hoặc \(-9 \frac{7}{9}\)

Vậy, \(-9,(7) = -\frac{88}{9} = -9 \frac{7}{9}\)

5) 2,(35)

Giải:

Đặt \(x = 2,(35)\). Ta có:

\(x = 2.353535…\) (1)

Vì chu kỳ có 2 chữ số (là 35), ta nhân cả hai vế của (1) với \(10^2 = 100\):

\(100x = 235.353535…\) (2)

Lấy (2) trừ (1), ta được:

\(100x – x = 235.353535… – 2.353535…\)

\(99x = 233\)

\(x = \frac{233}{99}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 2 \frac{35}{99}\)

Vậy, \(2,(35) = \frac{233}{99} = 2 \frac{35}{99}\)

6) 1,(86)

Giải:

Đặt \(x = 1,(86)\). Ta có:

\(x = 1.868686…\) (1)

Vì chu kỳ có 2 chữ số (là 86), ta nhân cả hai vế của (1) với \(100\):

\(100x = 186.868686…\) (2)

Lấy (2) trừ (1), ta được:

\(100x – x = 186.868686… – 1.868686…\)

\(99x = 185\)

\(x = \frac{185}{99}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 1 \frac{86}{99}\)

Vậy, \(1,(86) = \frac{185}{99} = 1 \frac{86}{99}\)

7) -4,(68)

Giải:

Chúng ta sẽ chuyển số \(4,(68)\) thành phân số trước, sau đó đặt dấu trừ vào.
Đặt \(x = 4,(68)\). Ta có:

\(x = 4.686868…\) (1)

Nhân (1) với 100:

\(100x = 468.686868…\) (2)

Lấy (2) trừ (1):

\(100x – x = 468.686868… – 4.686868…\)

\(99x = 464\)

\(x = \frac{464}{99}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 4 \frac{68}{99}\)

Vậy, \(-4,(68) = -\frac{464}{99}\) hoặc \(-4 \frac{68}{99}\)

Vậy, \(-4,(68) = -\frac{464}{99} = -4 \frac{68}{99}\)

8) -1,(39)

Giải:

Chúng ta sẽ chuyển số \(1,(39)\) thành phân số trước, sau đó đặt dấu trừ vào.
Đặt \(x = 1,(39)\). Ta có:

\(x = 1.393939…\) (1)

Nhân (1) với 100:

\(100x = 139.393939…\) (2)

Lấy (2) trừ (1):

\(100x – x = 139.393939… – 1.393939…\)

\(99x = 138\)

\(x = \frac{138}{99}\)

Ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3:

\(x = \frac{138 \div 3}{99 \div 3} = \frac{46}{33}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 1 \frac{13}{33}\)

Vậy, \(-1,(39) = -\frac{46}{33}\) hoặc \(-1 \frac{13}{33}\)

Vậy, \(-1,(39) = -\frac{46}{33} = -1 \frac{13}{33}\)

9) 0,5(12)

Giải:

Đặt \(x = 0,5(12)\). Ta có:

\(x = 0.5121212…\) (1)

Để phần tuần hoàn bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ta nhân (1) với 10 (vì có 1 chữ số không lặp lại sau dấu phẩy):

\(10x = 5.121212…\) (2)

Chu kỳ có 2 chữ số (là 12), vậy ta nhân (2) với \(10^2 = 100\):

\(100 \times (10x) = 100 \times (5.121212…)\)

\(1000x = 512.121212…\) (3)

Lấy (3) trừ (2):

\(1000x – 10x = 512.121212… – 5.121212…\)

\(990x = 507\)

\(x = \frac{507}{990}\)

Ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3 (vì \(5+0+7=12\) và \(9+9+0=18\), cả hai đều chia hết cho 3):

\(x = \frac{507 \div 3}{990 \div 3} = \frac{169}{330}\)

Vậy, \(0,5(12) = \frac{169}{330}\)

10) 5,0(3)

Giải:

Đặt \(x = 5,0(3)\). Ta có:

\(x = 5.0333…\) (1)

Để phần tuần hoàn bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ta nhân (1) với 10:

\(10x = 50.333…\) (2)

Chu kỳ có 1 chữ số (là 3), vậy ta nhân (2) với 10:

\(10 \times (10x) = 10 \times (50.333…)\)

\(100x = 503.333…\) (3)

Lấy (3) trừ (2):

\(100x – 10x = 503.333… – 50.333…\)

\(90x = 453\)

\(x = \frac{453}{90}\)

Ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3 (vì \(4+5+3=12\) và \(9+0=9\), cả hai đều chia hết cho 3):

\(x = \frac{453 \div 3}{90 \div 3} = \frac{151}{30}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 5 \frac{1}{30}\)

Vậy, \(5,0(3) = \frac{151}{30} = 5 \frac{1}{30}\)

11) -6,0(30)

Giải:

Chúng ta sẽ chuyển số \(6,0(30)\) thành phân số trước, sau đó đặt dấu trừ vào.
Đặt \(x = 6,0(30)\). Ta có:

\(x = 6.0303030…\) (1)

Để phần tuần hoàn bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ta nhân (1) với 10:

\(10x = 60.303030…\) (2)

Chu kỳ có 2 chữ số (là 30), vậy ta nhân (2) với 100:

\(100 \times (10x) = 100 \times (60.303030…)\)

\(1000x = 6030.303030…\) (3)

Lấy (3) trừ (2):

\(1000x – 10x = 6030.303030… – 60.303030…\)

\(990x = 5970\)

\(x = \frac{5970}{990}\)

Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 10:

\(x = \frac{597}{99}\)

Tiếp tục rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3 (vì \(5+9+7=21\) và \(9+9=18\), cả hai đều chia hết cho 3):

\(x = \frac{597 \div 3}{99 \div 3} = \frac{199}{33}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 6 \frac{1}{33}\)

Vậy, \(-6,0(30) = -\frac{199}{33}\) hoặc \(-6 \frac{1}{33}\)

Vậy, \(-6,0(30) = -\frac{199}{33} = -6 \frac{1}{33}\)

12) -12,0(60)

Giải:

Chúng ta sẽ chuyển số \(12,0(60)\) thành phân số trước, sau đó đặt dấu trừ vào.
Đặt \(x = 12,0(60)\). Ta có:

\(x = 12.0606060…\) (1)

Để phần tuần hoàn bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ta nhân (1) với 10:

\(10x = 120.606060…\) (2)

Chu kỳ có 2 chữ số (là 60), vậy ta nhân (2) với 100:

\(100 \times (10x) = 100 \times (120.606060…)\)

\(1000x = 12060.606060…\) (3)

Lấy (3) trừ (2):

\(1000x – 10x = 12060.606060… – 120.606060…\)

\(990x = 11940\)

\(x = \frac{11940}{990}\)

Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 10:

\(x = \frac{1194}{99}\)

Tiếp tục rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3 (vì \(1+1+9+4=15\) và \(9+9=18\), cả hai đều chia hết cho 3):

\(x = \frac{1194 \div 3}{99 \div 3} = \frac{398}{33}\)

Hoặc dưới dạng hỗn số: \(x = 12 \frac{2}{33}\)

Vậy, \(-12,0(60) = -\frac{398}{33}\) hoặc \(-12 \frac{2}{33}\)

Vậy, \(-12,0(60) = -\frac{398}{33} = -12 \frac{2}{33}\)

Hy vọng qua các bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn về số hữu tỉ. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng toán này nhé!