Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất thú vị về Vòng quay Mặt trời Hạ Long. Đây là một dạng bài điển hình của việc ứng dụng hàm số lượng giác vào mô tả các chuyển động tuần hoàn.

Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và tìm ra lời giải nhé!

Đề bài:

Vòng quay Mặt trời Hạ Long là một trong hai vòng quay lớn nhất ở Việt Nam với đường kính 115 mét. Độ cao của cabin ở vị vị trí cao nhất cách mặt nước biển là 215 mét, mỗi vòng quay hết 20 phút. Bạn Yến bước vào cabin ở vị trí thấp nhất. Hỏi sau 12 phút di chuyển, khoảng cách từ bạn Yến so với mặt nước biển là bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Phân tích và Lời giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ mô hình hóa độ cao của cabin theo thời gian bằng một hàm số lượng giác.

1. Xác định các thông số cơ bản:

• Đường kính vòng quay: \(D = 115\) mét.
• Bán kính vòng quay: \(R = \frac{D}{2} = \frac{115}{2} = 57.5\) mét. Đây chính là biên độ dao động của độ cao so với tâm vòng quay.
• Độ cao cực đại so với mặt nước biển: \(H_{max} = 215\) mét.
• Chu kỳ quay (thời gian hoàn thành 1 vòng): \(T = 20\) phút.
• Thời điểm Yến bắt đầu di chuyển: \(t_0 = 0\) phút, tại vị trí thấp nhất.
• Thời điểm cần tìm độ cao: \(t = 12\) phút.

2. Xây dựng hàm số biểu diễn độ cao:

Chúng ta sẽ sử dụng hàm số lượng giác dạng \(h(t) = A \cos(Bt + C) + D\) hoặc \(h(t) = A \sin(Bt + C) + D\).
Vì Yến bắt đầu từ vị trí thấp nhất, hàm cosin với biên độ âm là lựa chọn phù hợp nhất để tránh phải tính toán pha ban đầu phức tạp.

Dạng hàm số chúng ta sẽ sử dụng: \(h(t) = -R \cos(Bt) + H_0\)

Trong đó:

• \(R\) là bán kính (biên độ).
• \(B\) là tần số góc, liên quan đến chu kỳ \(T\).
• \(H_0\) là độ cao của tâm vòng quay so với mặt nước biển (đường trung bình của hàm số).

a. Xác định bán kính (\(R\)):

Như đã tính ở trên, bán kính của vòng quay là \(R = 57.5\) mét.

b. Xác định độ cao của tâm vòng quay (\(H_0\)):

Độ cao của tâm vòng quay (\(H_0\)) là giá trị trung bình giữa độ cao cực đại và độ cao cực tiểu.
Độ cao cực đại là \(H_{max} = 215\) mét.
Độ cao cực tiểu (\(H_{min}\)) của cabin so với mặt nước biển sẽ là \(H_{max} – D = H_{max} – 2R\).
\(H_{min} = 215 – 115 = 100\) mét.
Độ cao của tâm vòng quay là: \(H_0 = \frac{H_{max} + H_{min}}{2} = \frac{215 + 100}{2} = \frac{315}{2} = 157.5\) mét.

Hoặc đơn giản hơn, độ cao của tâm vòng quay bằng độ cao cực đại trừ đi bán kính: \(H_0 = H_{max} – R = 215 – 57.5 = 157.5\) mét.

c. Xác định tần số góc (\(B\)):

Chu kỳ \(T = 20\) phút.
Tần số góc \(B = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\) (radian/phút).

d. Viết hàm số biểu diễn độ cao \(h(t)\):

Thay các giá trị \(R\), \(B\), \(H_0\) vào công thức:
\(h(t) = -57.5 \cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 157.5\)

3. Tính độ cao của Yến sau 12 phút:

Thay \(t = 12\) phút vào hàm số \(h(t)\):

\(h(12) = -57.5 \cos\left(\frac{\pi}{10} \times 12\right) + 157.5\)

\(h(12) = -57.5 \cos\left(\frac{12\pi}{10}\right) + 157.5\)

\(h(12) = -57.5 \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + 157.5\)

Chúng ta biết rằng \(\frac{6\pi}{5}\) là góc ở góc phần tư thứ ba. \(\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) \approx -0.8090\).

\(h(12) = -57.5 \times (-0.80901699…) + 157.5\)

\(h(12) \approx 46.5185 + 157.5\)

\(h(12) \approx 204.0185\)

4. Làm tròn kết quả:

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được: \(h(12) \approx 204.0\) mét.

Kết luận:

Vậy, sau 12 phút di chuyển, khoảng cách từ bạn Yến so với mặt nước biển là khoảng 204.0 mét.

Các em nhớ rằng việc mô hình hóa bằng hàm số lượng giác rất hữu ích để giải quyết các bài toán về chuyển động tròn hoặc dao động điều hòa nhé!

Có câu hỏi gì, các em cứ hỏi thầy!