Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức rất thú vị. Bài toán của chúng ta là:

\( ( x + 1)( x^2 + x + 1)( x – 1)( x^2 – x + 1) \)

Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nhớ lại các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học nhé!

***

Phân tích và tìm cách giải:

Chúng ta hãy quan sát kỹ biểu thức này. Có vẻ như các thừa số có thể được ghép cặp để sử dụng các hằng đẳng thức tổng và hiệu hai lập phương:

Nhắc lại các hằng đẳng thức cần thiết:

1. Tổng hai lập phương: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) \)

2. Hiệu hai lập phương: \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)

3. Hiệu hai bình phương: \( (a – b)(a + b) = a^2 – b^2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các thừa số lại với nhau một cách hợp lý để áp dụng các hằng đẳng thức trên.

***

Lời giải chi tiết:

Biểu thức đã cho là:

\( ( x + 1)( x^2 + x + 1)( x – 1)( x^2 – x + 1) \)

Để dễ dàng nhìn thấy các cặp hằng đẳng thức, cô/thầy sẽ sắp xếp lại vị trí các thừa số:

\( = [ ( x + 1)( x^2 – x + 1) ] \cdot [ ( x – 1)( x^2 + x + 1) ] \)

Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức cho cặp thứ nhất

Xét thừa số \(( x + 1)( x^2 – x + 1) \).

Chúng ta thấy rằng thừa số này có dạng \((a + b)(a^2 – ab + b^2)\) với \(a = x\) và \(b = 1\).

Áp dụng hằng đẳng thức Tổng hai lập phương (\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) \)):

\( ( x + 1)( x^2 – x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \)

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức cho cặp thứ hai

Xét thừa số \(( x – 1)( x^2 + x + 1) \).

Chúng ta thấy rằng thừa số này có dạng \((a – b)(a^2 + ab + b^2)\) với \(a = x\) và \(b = 1\).

Áp dụng hằng đẳng thức Hiệu hai lập phương (\( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)):

\( ( x – 1)( x^2 + x + 1) = x^3 – 1^3 = x^3 – 1 \)

Bước 3: Nhân hai kết quả vừa tìm được

Sau khi rút gọn từng cặp, biểu thức ban đầu trở thành:

\( = ( x^3 + 1 )( x^3 – 1 ) \)

Đến đây, chúng ta lại thấy xuất hiện một hằng đẳng thức quen thuộc nữa, đó là Hiệu hai bình phương.

Áp dụng hằng đẳng thức \( (a – b)(a + b) = a^2 – b^2 \), với \( a = x^3 \) và \( b = 1 \):

\( ( x^3 + 1 )( x^3 – 1 ) = (x^3)^2 – 1^2 \)

\( = x^{3 \cdot 2} – 1 \)

\( = x^6 – 1 \)

***

Kết luận:

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn sẽ là:

\( ( x + 1)( x^2 + x + 1)( x – 1)( x^2 – x + 1) = x^6 – 1 \)

Các em thấy không, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức rất nhanh chóng và chính xác. Hãy ôn tập thật kỹ các hằng đẳng thức này nhé!

Chúc các em học tốt!