Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình bậc hai. Đây là một dạng bài rất quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Hãy giải phương trình sau:

\( \frac{x^2}{2} – x + 3x – \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo các bước chi tiết sau đây để đảm bảo không bỏ sót bất kỳ điểm nào nhé!

Bước 1: Ghi lại phương trình ban đầu

Luôn bắt đầu bằng việc ghi lại chính xác đề bài để tránh nhầm lẫn.

\( \frac{x^2}{2} – x + 3x – \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)

Bước 2: Thu gọn các hạng tử đồng dạng ở mỗi vế

Chúng ta thấy ở vế trái có hai hạng tử chứa x là \( -x \) và \( +3x \). Hãy kết hợp chúng lại với nhau.

\( -x + 3x = 2x \)

Vậy, phương trình của chúng ta sau khi thu gọn sẽ trở thành:

\( \frac{x^2}{2} + 2x – \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)

Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và đưa phương trình về dạng chuẩn \( ax^2 + bx + c = 0 \)

Để giải phương trình bậc hai, cách tốt nhất là đưa nó về dạng chuẩn. Chúng ta sẽ chuyển hạng tử \( \frac{5}{3} \) từ vế phải sang vế trái và đổi dấu của nó.

\( \frac{x^2}{2} + 2x – \frac{1}{3} – \frac{5}{3} = 0 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các phân số không chứa x:

\( – \frac{1}{3} – \frac{5}{3} = – \frac{1 + 5}{3} = – \frac{6}{3} = -2 \)

Vậy, phương trình của chúng ta được đơn giản hóa thành:

\( \frac{x^2}{2} + 2x – 2 = 0 \)

Để làm việc với phương trình dễ dàng hơn (tránh phân số), chúng ta sẽ khử mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của các hạng tử trong phương trình này là 2 (vì \( \frac{x^2}{2} \) có mẫu là 2, còn \( 2x \) và \( -2 \) có thể coi là có mẫu là 1). Chúng ta sẽ nhân tất cả các hạng tử của phương trình với 2:

\( 2 \cdot \left( \frac{x^2}{2} \right) + 2 \cdot (2x) – 2 \cdot (2) = 2 \cdot (0) \)

\( x^2 + 4x – 4 = 0 \)

Tuyệt vời! Bây giờ chúng ta đã có một phương trình bậc hai ở dạng chuẩn \( ax^2 + bx + c = 0 \).

Bước 4: Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm

Từ phương trình \( x^2 + 4x – 4 = 0 \), ta xác định các hệ số:

• \( a = 1 \) (hệ số của \( x^2 \))
• \( b = 4 \) (hệ số của \( x \))
• \( c = -4 \) (hạng tử tự do)

Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

Trước tiên, hãy tính biệt thức \( \Delta \) (delta) với công thức \( \Delta = b^2 – 4ac \):

\( \Delta = (4)^2 – 4 \cdot (1) \cdot (-4) \)

\( \Delta = 16 – (-16) \)

\( \Delta = 16 + 16 \)

\( \Delta = 32 \)

Vì \( \Delta > 0 \) (32 lớn hơn 0), phương trình của chúng ta có hai nghiệm phân biệt.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị \( a, b, \Delta \) vào công thức nghiệm:

\( x = \frac{-(4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot (1)} \)

\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} \)

Chúng ta có thể rút gọn \( \sqrt{32} \):

\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)

Thay giá trị đã rút gọn vào công thức:

\( x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} \)

Chúng ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho 2 để đơn giản hóa biểu thức:

\( x = \frac{2(-2 \pm 2\sqrt{2})}{2} \)

\( x = -2 \pm 2\sqrt{2} \)

Vậy, chúng ta có hai nghiệm của phương trình:

• Nghiệm thứ nhất: \( x_1 = -2 + 2\sqrt{2} \)
• Nghiệm thứ hai: \( x_2 = -2 – 2\sqrt{2} \)

Bước 5: Kết luận tập nghiệm

Tập nghiệm của phương trình đã cho là:

\( S = \{ -2 + 2\sqrt{2}; -2 – 2\sqrt{2} \} \)

Hy vọng qua các bước giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm bài toán phương trình bậc hai này. Hãy luôn nhớ các bước: thu gọn, chuyển vế, khử mẫu (nếu có) và áp dụng công thức nghiệm một cách cẩn thận nhé!

Chúc các em học tốt và đạt nhiều kết quả cao trong môn Toán!