Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một bài toán rút gọn biểu thức đại số. Đây là một dạng bài rất quan trọng, giúp chúng ta ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng nhân đa thức.

Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

\( (x^2 – 2 )(x^4 + 2x^2 + 4)-x(x^5+1)+8 \)

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Lời giải chi tiết:

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận.

Bước 1: Phân tích và rút gọn nhóm hạng tử đầu tiên.

Chúng ta hãy nhìn vào nhóm hạng tử đầu tiên: \( (x^2 – 2 )(x^4 + 2x^2 + 4) \).

Các em có nhận ra dạng quen thuộc nào ở đây không?

Nếu chúng ta đặt \( a = x^2 \) và \( b = 2 \), thì biểu thức này có dạng \( (a – b)(a^2 + ab + b^2) \).

Đây chính là hằng đẳng thức “Hiệu hai lập phương“:
\( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)

Áp dụng hằng đẳng thức này vào biểu thức của chúng ta:

\( (x^2 – 2 )(x^4 + 2x^2 + 4) = (x^2 – 2 )((x^2)^2 + x^2 \cdot 2 + 2^2) \)

Vậy, nó sẽ bằng:

\( (x^2)^3 – 2^3 \)

Thực hiện phép tính lũy thừa:

\( x^{2 \cdot 3} – 8 \)

\( = x^6 – 8 \)

Vậy, nhóm hạng tử đầu tiên được rút gọn thành \( x^6 – 8 \).

Bước 2: Rút gọn nhóm hạng tử thứ hai.

Nhóm hạng tử thứ hai là: \( -x(x^5+1) \).

Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức (phân phối \( -x \) vào từng hạng tử trong ngoặc):

\( -x(x^5+1) = (-x) \cdot x^5 + (-x) \cdot 1 \)

Khi nhân các lũy thừa có cùng cơ số, chúng ta cộng các số mũ: \( x^1 \cdot x^5 = x^{1+5} = x^6 \).

\( = -x^6 – x \)

Vậy, nhóm hạng tử thứ hai được rút gọn thành \( -x^6 – x \).

Bước 3: Thay thế các phần đã rút gọn vào biểu thức ban đầu và tổng hợp.

Biểu thức ban đầu của chúng ta là: \( (x^2 – 2 )(x^4 + 2x^2 + 4)-x(x^5+1)+8 \)

Sau khi rút gọn từng phần ở Bước 1 và Bước 2, ta có:

Thay \( (x^2 – 2 )(x^4 + 2x^2 + 4) \) bằng \( (x^6 – 8) \)

Thay \( -x(x^5+1) \) bằng \( (-x^6 – x) \)

Biểu thức trở thành:

\( (x^6 – 8) + (-x^6 – x) + 8 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ bỏ dấu ngoặc (lưu ý dấu cộng trước ngoặc không làm thay đổi dấu các hạng tử bên trong) và sắp xếp lại các hạng tử đồng dạng:

\( x^6 – 8 – x^6 – x + 8 \)

Gộp các hạng tử đồng dạng lại:

\( (x^6 – x^6) + (-8 + 8) – x \)

Thực hiện phép tính:

\( 0 + 0 – x \)

\( = -x \)

Kết luận:

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là:

\( (x^2 – 2 )(x^4 + 2x^2 + 4)-x(x^5+1)+8 = -x \)

Các em nhớ rằng việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và quy tắc nhân chia đa thức là chìa khóa để giải quyết tốt các bài toán rút gọn biểu thức nhé!

Chúc các em học tốt!