Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy (hoặc cô) sẽ hướng dẫn các em cách phân tích các đa thức bậc hai thành nhân tử. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta, giúp các em hiểu rõ hơn về cấu trúc của các biểu thức đại số.

Các đa thức chúng ta sẽ xét đều có dạng chung là \(ax^2 + bx + c\). Với các bài toán này, chúng ta sẽ tìm cách biến đổi chúng thành dạng tích của hai nhân tử bậc nhất \((x – p)(x – q)\) hoặc \((x + p)(x + q)\) phù hợp, hoặc kết luận khi không thể phân tích được.

Bài tập 1: Phân tích đa thức \(x^2 – 8x + 9\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\), trong đó:

• \(a = 1\)
• \(b = -8\)
• \(c = 9\)

Bước 2: Tìm hai số nguyên \(p\) và \(q\) sao cho tích của chúng bằng \(c\) và tổng của chúng bằng \(b\).
Chúng ta cần tìm hai số \(p, q\) sao cho:

• \(p \cdot q = c = 9\)
• \(p + q = b = -8\)

Các cặp số nguyên có tích bằng 9 là:

• \((1, 9)\) có tổng là \(1+9=10\) (không bằng -8)
• \((-1, -9)\) có tổng là \((-1)+(-9)=-10\) (không bằng -8)
• \((3, 3)\) có tổng là \(3+3=6\) (không bằng -8)
• \((-3, -3)\) có tổng là \((-3)+(-3)=-6\) (không bằng -8)

Trong các cặp số nguyên trên, không có cặp nào thỏa mãn điều kiện tổng bằng -8.

Bước 3: Kết luận.
Vì không tìm được hai số nguyên \(p, q\) thỏa mãn điều kiện trên, nên đa thức \(x^2 – 8x + 9\) không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số nguyên.

(Lưu ý: Nếu các em học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai, các em có thể tính delta \(\Delta = b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4(1)(9) = 64 – 36 = 28\). Vì \(\Delta > 0\), đa thức này có nghiệm thực là \(x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}\). Do đó, nó có thể phân tích thành nhân tử dạng \((x – (4+\sqrt{7}))(x – (4-\sqrt{7}))\). Tuy nhiên, ở lớp 8, chúng ta thường chỉ xét phân tích thành nhân tử với các số nguyên.)

Bài tập 2: Phân tích đa thức \(x^2 – 5x + 4\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\), trong đó:

• \(a = 1\)
• \(b = -5\)
• \(c = 4\)

Bước 2: Tìm hai số nguyên \(p\) và \(q\) sao cho tích của chúng bằng \(c\) và tổng của chúng bằng \(b\).
Chúng ta cần tìm hai số \(p, q\) sao cho:

• \(p \cdot q = c = 4\)
• \(p + q = b = -5\)

Các cặp số nguyên có tích bằng 4 là:

• \((1, 4)\) có tổng là \(1+4=5\) (không bằng -5)
• \((-1, -4)\) có tổng là \((-1)+(-4)=-5\) (Đúng!)
• \((2, 2)\) có tổng là \(2+2=4\) (không bằng -5)
• \((-2, -2)\) có tổng là \((-2)+(-2)=-4\) (không bằng -5)

Chúng ta tìm được hai số là \(-1\) và \(-4\).

Bước 3: Phân tích thành nhân tử.
Thay các giá trị \(p = -1\) và \(q = -4\) vào dạng \((x + p)(x + q)\) (hoặc \((x-p)(x-q)\) tùy cách đặt dấu), ta được:
\[ x^2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4) \]

Kiểm tra lại: \((x – 1)(x – 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) + (-1) \cdot x + (-1) \cdot (-4) = x^2 – 4x – x + 4 = x^2 – 5x + 4\). (Kết quả đúng!)

Bài tập 3: Phân tích đa thức \(x^2 – 8x + 15\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\), trong đó:

• \(a = 1\)
• \(b = -8\)
• \(c = 15\)

Bước 2: Tìm hai số nguyên \(p\) và \(q\) sao cho tích của chúng bằng \(c\) và tổng của chúng bằng \(b\).
Chúng ta cần tìm hai số \(p, q\) sao cho:

• \(p \cdot q = c = 15\)
• \(p + q = b = -8\)

Các cặp số nguyên có tích bằng 15 là:

• \((1, 15)\) có tổng là \(1+15=16\) (không bằng -8)
• \((-1, -15)\) có tổng là \((-1)+(-15)=-16\) (không bằng -8)
• \((3, 5)\) có tổng là \(3+5=8\) (không bằng -8)
• \((-3, -5)\) có tổng là \((-3)+(-5)=-8\) (Đúng!)

Chúng ta tìm được hai số là \(-3\) và \(-5\).

Bước 3: Phân tích thành nhân tử.
\[ x^2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5) \]

Kiểm tra lại: \((x – 3)(x – 5) = x^2 – 5x – 3x + 15 = x^2 – 8x + 15\). (Kết quả đúng!)

Bài tập 4: Phân tích đa thức \(x^2 + 7x + 10\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\), trong đó:

• \(a = 1\)
• \(b = 7\)
• \(c = 10\)

Bước 2: Tìm hai số nguyên \(p\) và \(q\) sao cho tích của chúng bằng \(c\) và tổng của chúng bằng \(b\).
Chúng ta cần tìm hai số \(p, q\) sao cho:

• \(p \cdot q = c = 10\)
• \(p + q = b = 7\)

Các cặp số nguyên có tích bằng 10 là:

• \((1, 10)\) có tổng là \(1+10=11\) (không bằng 7)
• \((-1, -10)\) có tổng là \((-1)+(-10)=-11\) (không bằng 7)
• \((2, 5)\) có tổng là \(2+5=7\) (Đúng!)
• \((-2, -5)\) có tổng là \((-2)+(-5)=-7\) (không bằng 7)

Chúng ta tìm được hai số là \(2\) và \(5\).

Bước 3: Phân tích thành nhân tử.
\[ x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) \]

Kiểm tra lại: \((x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10\). (Kết quả đúng!)

Bài tập 5: Phân tích đa thức \(x^2 – 4x + 5\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\), trong đó:

• \(a = 1\)
• \(b = -4\)
• \(c = 5\)

Bước 2: Tìm hai số nguyên \(p\) và \(q\) sao cho tích của chúng bằng \(c\) và tổng của chúng bằng \(b\).
Chúng ta cần tìm hai số \(p, q\) sao cho:

• \(p \cdot q = c = 5\)
• \(p + q = b = -4\)

Các cặp số nguyên có tích bằng 5 là:

• \((1, 5)\) có tổng là \(1+5=6\) (không bằng -4)
• \((-1, -5)\) có tổng là \((-1)+(-5)=-6\) (không bằng -4)

Trong các cặp số nguyên trên, không có cặp nào thỏa mãn điều kiện tổng bằng -4.

Bước 3: Kết luận.
Vì không tìm được hai số nguyên \(p, q\) thỏa mãn điều kiện trên, nên đa thức \(x^2 – 4x + 5\) không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số nguyên.

(Lưu ý: Nếu tính delta cho đa thức này, ta có \(\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4(1)(5) = 16 – 20 = -4\). Vì \(\Delta < 0\), đa thức này không có nghiệm thực, do đó không thể phân tích thành nhân tử trên tập số thực.)

Qua các bài tập trên, các em đã thấy không phải lúc nào đa thức cũng có thể phân tích thành nhân tử với các số nguyên. Điều quan trọng là các em phải nắm vững phương pháp tìm các cặp số có tổng và tích tương ứng. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!

Chúc các em học tốt!