Rất vui được hướng dẫn em giải bài toán này! Đây là một dạng bài phương trình chứa căn khá phổ biến, đòi hỏi chúng ta phải thật cẩn thận ở từng bước.

Phương trình của chúng ta là:
\(x^2 – 3x + 2 = \sqrt{4x – 2}\)

Chúng ta sẽ giải bài này theo các bước sau nhé:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Để phương trình có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo hai điều kiện sau:

1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

\(4x – 2 \ge 0\)
\(4x \ge 2\)
\(x \ge \frac{2}{4}\)
\(x \ge \frac{1}{2}\)

2. Vế trái của phương trình phải không âm (vì vế phải là căn bậc hai, luôn không âm):

\(x^2 – 3x + 2 \ge 0\)
Để giải bất phương trình bậc hai này, ta tìm nghiệm của phương trình \(x^2 – 3x + 2 = 0\).
Đây là phương trình quen thuộc, có tổng các hệ số \(1 – 3 + 2 = 0\), nên có một nghiệm là \(x = 1\) và nghiệm còn lại là \(x = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2\).
Vì hệ số của \(x^2\) là 1 (dương), parabol quay lên, nên \(x^2 – 3x + 2 \ge 0\) khi \(x \le 1\) hoặc \(x \ge 2\).

Kết hợp cả hai điều kiện:

– \(x \ge \frac{1}{2}\)
– \(x \le 1\) hoặc \(x \ge 2\)
Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right] \cup [2; +\infty)\).

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình

Để khử dấu căn, ta sẽ bình phương hai vế của phương trình đã cho:

\((x^2 – 3x + 2)^2 = (\sqrt{4x – 2})^2\)
\((x^2 – 3x + 2)^2 = 4x – 2\)

Khai triển vế trái:

\((x^2 – 3x + 2)^2 = (x^2 – 3x)^2 + 2(x^2 – 3x)(2) + 2^2\)
\(= x^4 – 6x^3 + 9x^2 + 4x^2 – 12x + 4\)
\(= x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x + 4\)

Vậy, phương trình trở thành:

\(x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x + 4 = 4x – 2\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về phương trình bậc bốn:

\(x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x – 4x + 4 + 2 = 0\)
\(x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 16x + 6 = 0\) (Phương trình (1))

Bước 3: Giải phương trình bậc bốn

Đây là phần khó nhất của bài toán. Với các bài toán ở cấp THCS, thường thì phương trình bậc bốn sẽ có các nghiệm “đẹp” (nguyên, hữu tỉ) hoặc có thể phân tích thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử đặc biệt.

Trong trường hợp này, việc tìm nghiệm nguyên hoặc hữu tỉ không dễ dàng (nếu thử các ước của 6 như \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\) đều không phải nghiệm).

Tuy nhiên, chúng ta có thể thử một cách khác, đó là tìm một mối liên hệ đặc biệt nào đó. Thường thì các bài toán dạng này có thể “giải được” nếu chúng ta nhận ra một nghiệm đặc biệt, ví dụ như thử xem có nghiệm nào thỏa mãn \(x^2 – 3x + 2 = x\) hay không (đây là một cách thử nghiệm hay, khi biểu thức dưới căn là \(4x-2\), ta thử xem khi nào \(x^2-3x+2\) sẽ bằng một biểu thức “đẹp” liên quan đến x, ví dụ như x hoặc \(\sqrt{2x-1}\) v.v… Ở đây, nếu \(x^2 – 3x + 2 = x\), thì \(x^2 – 4x + 2 = 0\).)

Giải phương trình \(x^2 – 4x + 2 = 0\):

\(\Delta’ = (-2)^2 – 1(2) = 4 – 2 = 2\)
\(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{2}}{1} = 2 \pm \sqrt{2}\)

Hãy thử xem \(x = 2 + \sqrt{2}\) có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không nhé:

Vế trái (LHS): \(x^2 – 3x + 2 = (2+\sqrt{2})^2 – 3(2+\sqrt{2}) + 2\)
\(= (4 + 4\sqrt{2} + 2) – (6 + 3\sqrt{2}) + 2\)
\(= 6 + 4\sqrt{2} – 6 – 3\sqrt{2} + 2\)
\(= 2 + \sqrt{2}\)

Vế phải (RHS): \(\sqrt{4x – 2} = \sqrt{4(2+\sqrt{2}) – 2}\)
\(= \sqrt{8 + 4\sqrt{2} – 2}\)
\(= \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}\)

Ta cần kiểm tra xem \(2 + \sqrt{2} = \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}\) hay không.
Bình phương cả hai vế của biểu thức này:

\((2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2(2)\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}\).
Điều này đúng! Vậy \(x = 2 + \sqrt{2}\) là một nghiệm của phương trình.

Vì \(x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 16x + 6 = 0\) là phương trình với các hệ số hữu tỉ, nếu \(2 + \sqrt{2}\) là một nghiệm thì \(2 – \sqrt{2}\) cũng phải là nghiệm.

Hãy thử kiểm tra \(x = 2 – \sqrt{2}\) với phương trình gốc:

Vế trái (LHS): \(x^2 – 3x + 2 = (2-\sqrt{2})^2 – 3(2-\sqrt{2}) + 2\)
\(= (4 – 4\sqrt{2} + 2) – (6 – 3\sqrt{2}) + 2\)
\(= 6 – 4\sqrt{2} – 6 + 3\sqrt{2} + 2\)
\(= 2 – \sqrt{2}\)

Vế phải (RHS): \(\sqrt{4x – 2} = \sqrt{4(2-\sqrt{2}) – 2}\)
\(= \sqrt{8 – 4\sqrt{2} – 2}\)
\(= \sqrt{6 – 4\sqrt{2}}\)

Ta cần kiểm tra xem \(2 – \sqrt{2} = \sqrt{6 – 4\sqrt{2}}\) hay không.
Điều kiện để \(2 – \sqrt{2} = \sqrt{6 – 4\sqrt{2}}\) là \(2 – \sqrt{2} \ge 0\). Điều này đúng vì \(2 \approx 2.0\) và \(\sqrt{2} \approx 1.414\), nên \(2 – \sqrt{2} > 0\).
Bình phương cả hai vế của biểu thức này:

\((2 – \sqrt{2})^2 = 2^2 – 2(2)\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 – 4\sqrt{2} + 2 = 6 – 4\sqrt{2}\).
Điều này cũng đúng! Vậy \(x = 2 – \sqrt{2}\) cũng là một nghiệm của phương trình.

Vì \(x_1 = 2 + \sqrt{2}\) và \(x_2 = 2 – \sqrt{2}\) là nghiệm, nên phương trình bậc bốn \((1)\) có thể phân tích thành nhân tử chứa \((x – (2+\sqrt{2}))\) và \((x – (2-\sqrt{2}))\).
Tích của hai nhân tử này là:
\((x – (2+\sqrt{2}))(x – (2-\sqrt{2})) = ((x-2) – \sqrt{2})((x-2) + \sqrt{2})\)
\(= (x-2)^2 – (\sqrt{2})^2\)
\(= x^2 – 4x + 4 – 2\)
\(= x^2 – 4x + 2\)

Vậy, phương trình bậc bốn \((1)\) có thể phân tích thành \((x^2 – 4x + 2)(ax^2 + bx + c) = 0\).
Ta thực hiện phép chia đa thức \(x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 16x + 6\) cho \(x^2 – 4x + 2\):

(x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 16x + 6) : (x^2 - 4x + 2) = x^2 - 2x + 3

Vậy, phương trình (1) có thể viết lại là:

\((x^2 – 4x + 2)(x^2 – 2x + 3) = 0\)

Để phương trình này có nghiệm, ta có hai trường hợp:

1. \(x^2 – 4x + 2 = 0\)

Như đã giải ở trên, phương trình này có hai nghiệm là \(x = 2 + \sqrt{2}\) và \(x = 2 – \sqrt{2}\).

2. \(x^2 – 2x + 3 = 0\)

Tính biệt thức \(\Delta = (-2)^2 – 4(1)(3) = 4 – 12 = -8\).
Vì \(\Delta < 0\), phương trình này không có nghiệm thực.

Vậy, phương trình \((1)\) chỉ có hai nghiệm thực là \(x = 2 + \sqrt{2}\) và \(x = 2 – \sqrt{2}\).

Bước 4: Kiểm tra lại các nghiệm với điều kiện xác định

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right] \cup [2; +\infty)\).

1. Với \(x = 2 + \sqrt{2}\):
Ta có \(\sqrt{2} \approx 1.414\), nên \(x \approx 2 + 1.414 = 3.414\).
Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(x \ge 2\). Vậy \(x = 2 + \sqrt{2}\) là một nghiệm hợp lệ.

2. Với \(x = 2 – \sqrt{2}\):
Ta có \(x \approx 2 – 1.414 = 0.586\).
Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{2} \le x \le 1\) (vì \(0.5 \le 0.586 \le 1\)). Vậy \(x = 2 – \sqrt{2}\) là một nghiệm hợp lệ.

Kết luận:

Phương trình đã cho có hai nghiệm là:

\(x_1 = 2 + \sqrt{2}\)
\(x_2 = 2 – \sqrt{2}\)

Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp em hiểu rõ hơn nhé! Chúc em học tốt!