Đây là một bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của một hàm số bậc hai, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 10.

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = -x^2 + 2x + 5\).

Phân tích bài toán:

Hàm số của chúng ta là \(y = -x^2 + 2x + 5\). Đây là một hàm số bậc hai có dạng tổng quát \(y = ax^2 + bx + c\).

Trong trường hợp này, chúng ta có:

• \(a = -1\)
• \(b = 2\)
• \(c = 5\)

Vì hệ số \(a = -1 < 0\), đồ thị của hàm số là một parabol quay bề lõm xuống dưới. Điều này có nghĩa là hàm số sẽ có một giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Cách giải:

Chúng ta có thể tìm giá trị lớn nhất bằng cách sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol.

Phương pháp 1: Hoàn thành bình phương

Mục tiêu của phương pháp này là biến đổi biểu thức về dạng \(a(x-h)^2 + k\), trong đó \(k\) sẽ là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm số.

Ta có:

\(y = -x^2 + 2x + 5\)

Bước 1: Nhóm các số hạng chứa \(x^2\) và \(x\), sau đó đặt hệ số \(a\) ra ngoài (ở đây là \(-1\)).

\(y = -(x^2 – 2x) + 5\)

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho biểu thức trong ngoặc \((x^2 – 2x)\). Để có một bình phương hoàn chỉnh \((x-m)^2\), ta cần \(m^2\). Ở đây, \(2mx = 2x \Rightarrow m=1\), vậy ta cần \(1^2 = 1\).

Ta thêm và bớt \(1\) vào trong ngoặc:

\(y = -(x^2 – 2x + 1 – 1) + 5\)

Bước 3: Tách biểu thức bình phương và đưa số hạng còn lại ra ngoài ngoặc.

\(y = -((x^2 – 2x + 1) – 1) + 5\)

\(y = -(x-1)^2 – (-1) + 5\)

\(y = -(x-1)^2 + 1 + 5\)

\(y = -(x-1)^2 + 6\)

Bước 4: Phân tích để tìm GTLN.

Ta biết rằng, với mọi giá trị của \(x\), \((x-1)^2 \ge 0\).
Do đó, \(-(x-1)^2 \le 0\).

Khi đó, \(-(x-1)^2 + 6 \le 0 + 6\).

Vậy, \(y \le 6\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x-1)^2 = 0\), tức là \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\).

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là \(6\), đạt được khi \(x = 1\).

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol

Đối với hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\), tọa độ đỉnh \((x_V, y_V)\) được xác định bởi công thức:

\(x_V = \frac{-b}{2a}\)

\(y_V = f(x_V)\) (hoặc \(y_V = \frac{-\Delta}{4a}\) với \(\Delta = b^2 – 4ac\))

Trong bài toán này, \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 5\).

Bước 1: Tính hoành độ đỉnh \(x_V\).

\(x_V = \frac{-2}{2 \times (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1\)

Bước 2: Thay \(x_V\) vào hàm số để tìm tung độ đỉnh \(y_V\), đây chính là GTLN của hàm số.

\(y_V = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 5\)

\(y_V = -1 + 2 + 5\)

\(y_V = 6\)

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là \(6\), đạt được khi \(x = 1\).

Kết luận:

Bằng cả hai phương pháp, chúng ta đều có chung kết quả.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = -x^2 + 2x + 5\) là \(6\), đạt được khi \(x = 1\).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!