Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em đi giải bài tập rút gọn biểu thức phân thức đại số sau đây. Đây là một bài tập khá quen thuộc, đòi hỏi các em phải vận dụng thành thạo các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Chúng ta có biểu thức:

\({x^2y + 2xy^2 + y^3}/{2x^2 + xy – y^2}\)

Bước 1: Phân tích tử thức thành nhân tử

Tử thức của chúng ta là \(x^2y + 2xy^2 + y^3\).
Ta nhận thấy tất cả các hạng tử đều có nhân tử chung là \(y\).

Ta đặt nhân tử chung \(y\) ra ngoài:

\(y(x^2 + 2xy + y^2)\)

Bây giờ, chúng ta xem xét phần trong ngoặc: \(x^2 + 2xy + y^2\). Đây là một hằng đẳng thức quen thuộc, đó là bình phương của một tổng:

\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)

Vậy, tử thức được phân tích thành nhân tử là:

\(y(x + y)^2\)

Bước 2: Phân tích mẫu thức thành nhân tử

Mẫu thức của chúng ta là \(2x^2 + xy – y^2\).
Đối với mẫu thức này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tách hạng tử hoặc nhóm hạng tử.
Cách 1: Tách hạng tử.
Ta cần tách hạng tử \(xy\) thành hai hạng tử sao cho khi nhóm lại, ta có thể đặt nhân tử chung.
Ta nhận thấy \(2x^2 + xy – y^2 = 2x^2 + 2xy – xy – y^2\).

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử lại:

\((2x^2 + 2xy) – (xy + y^2)\)

Đặt nhân tử chung cho từng nhóm:

\(2x(x + y) – y(x + y)\)

Bây giờ, ta thấy có nhân tử chung là \((x + y)\). Đặt nhân tử chung này ra ngoài:

\((x + y)(2x – y)\)

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (ít dùng hơn với học sinh lớp 8 nhưng vẫn có thể áp dụng).
Ta giả sử \(2x^2 + xy – y^2\) có thể phân tích thành \((ax + by)(cx + dy)\).
Khai triển ra ta được \(acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2\).
So sánh với \(2x^2 + xy – y^2\), ta có:
\(ac = 2\)
\(ad + bc = 1\)
\(bd = -1\)
Ta có thể thử các cặp ước của 2 và -1. Ví dụ:
Nếu \(a=2, c=1\) và \(b=1, d=-1\), ta có:
\(ac = 2 \times 1 = 2\) (Đúng)
\(bd = 1 \times (-1) = -1\) (Đúng)
\(ad + bc = 2 \times (-1) + 1 \times 1 = -2 + 1 = -1\) (Sai, ta cần là 1)

Thử lại:
Nếu \(a=2, c=1\) và \(b=-1, d=1\), ta có:
\(ac = 2 \times 1 = 2\) (Đúng)
\(bd = (-1) \times 1 = -1\) (Đúng)
\(ad + bc = 2 \times 1 + (-1) \times 1 = 2 – 1 = 1\) (Đúng)
Vậy, ta có thể phân tích mẫu thức thành \((2x – y)(x + y)\).

Kết quả phân tích mẫu thức là:

\((x + y)(2x – y)\)

Bước 3: Rút gọn biểu thức

Bây giờ, chúng ta thay thế tử thức và mẫu thức đã phân tích vào biểu thức ban đầu:

\({y(x + y)^2}/{(x + y)(2x – y)}\)

Ta có thể rút gọn nhân tử chung là \((x + y)\) (với điều kiện \(x+y \neq 0\)).

Sau khi rút gọn, ta được:

\({y(x + y)}/{2x – y}\)

Kết luận:

Vậy, biểu thức ban đầu sau khi rút gọn là:

\({y(x + y)}/{2x – y}\)

Các em cần lưu ý điều kiện để biểu thức có nghĩa, đó là mẫu thức phải khác 0.
Tức là \(2x^2 + xy – y^2 \neq 0\), hay \((x + y)(2x – y) \neq 0\).
Điều này tương đương với \(x + y \neq 0\) và \(2x – y \neq 0\).

Hy vọng với phần trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải bài tập. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biểu thức nhé!