Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa, một dạng bài khá phổ biến và quan trọng. Bài toán yêu cầu chúng ta xác định thời điểm vật đi qua một vị trí cụ thể lần thứ 2025. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhé!

Đề bài: Một vật dao động điều hòa có phương trình li độ là \(x = 60\cos\left(\frac{2}{25}\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\) (cm, s). Xác định thời điểm vật đi qua vị trí \(x = -30\) cm lần thứ 2025.

Phân tích đề bài và xác định các thông số ban đầu:

Từ phương trình dao động điều hòa tổng quát \(x = A\cos(\omega t + \varphi)\), chúng ta có thể rút ra các thông số sau:

• Biên độ dao động: \(A = 60\) cm.
• Tần số góc: \(\omega = \frac{2}{25}\pi\) rad/s.
• Pha ban đầu: \(\varphi = \frac{\pi}{3}\) rad.

Một thông số quan trọng khác là chu kì dao động \(T\), được tính bằng công thức \(T = \frac{2\pi}{\omega}\):

\(T = \frac{2\pi}{\frac{2}{25}\pi} = 2\pi \cdot \frac{25}{2\pi} = 25\) s.

Bước 1: Tìm thời điểm tổng quát khi vật đi qua vị trí \(x = -30\) cm.

Chúng ta thay giá trị \(x = -30\) cm vào phương trình li độ:

\(-30 = 60\cos\left(\frac{2}{25}\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\)

Chia cả hai vế cho 60:

\(\cos\left(\frac{2}{25}\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{30}{60} = -\frac{1}{2}\)

Để giải phương trình lượng giác này, chúng ta biết rằng \(\cos\alpha = -\frac{1}{2}\) khi \(\alpha = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\) hoặc \(\alpha = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi\) (với \(k\) là số nguyên).

Trường hợp 1:

\(\frac{2}{25}\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\)

Chuyển \(\frac{\pi}{3}\) sang vế phải:

\(\frac{2}{25}\pi t = \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{3} + k2\pi\)

\(\frac{2}{25}\pi t = \frac{\pi}{3} + k2\pi\)

Để tìm \(t\), chúng ta chia cả hai vế cho \(\pi\) và nhân với \(\frac{25}{2}\):

\(t = \left(\frac{1}{3} + 2k\right) \cdot \frac{25}{2}\)

\(t_1 = \frac{25}{6} + 25k\) (với \(k \ge 0\), vì \(t \ge 0\))

Các thời điểm đầu tiên trong trường hợp này là:

• Với \(k=0\): \(t = \frac{25}{6}\) s (lần 1)
• Với \(k=1\): \(t = \frac{25}{6} + 25 = \frac{175}{6}\) s (lần 3)
• Với \(k=2\): \(t = \frac{25}{6} + 50 = \frac{325}{6}\) s (lần 5)

… và cứ thế tiếp tục.

Trường hợp 2:

\(\frac{2}{25}\pi t + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi\)

Chuyển \(\frac{\pi}{3}\) sang vế phải:

\(\frac{2}{25}\pi t = -\frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{3} + k2\pi\)

\(\frac{2}{25}\pi t = -\pi + k2\pi\)

Để tìm \(t\), chúng ta chia cả hai vế cho \(\pi\) và nhân với \(\frac{25}{2}\):

\(t = (-1 + 2k) \cdot \frac{25}{2}\)

\(t_2 = -\frac{25}{2} + 25k\) (với \(k \ge 1\), vì nếu \(k=0\) thì \(t<0\) là vô lý)

Các thời điểm đầu tiên trong trường hợp này là:

• Với \(k=1\): \(t = -\frac{25}{2} + 25 = \frac{25}{2}\) s (lần 2)
• Với \(k=2\): \(t = -\frac{25}{2} + 50 = \frac{75}{2}\) s (lần 4)
• Với \(k=3\): \(t = -\frac{25}{2} + 75 = \frac{125}{2}\) s (lần 6)

… và cứ thế tiếp tục.

Bước 2: Sắp xếp các thời điểm và xác định quy luật.

Trong một chu kì dao động \(T = 25\) s, vật sẽ đi qua vị trí \(x = -30\) cm hai lần:

1. Lần thứ nhất trong chu kì (theo một chiều): \(t_{1a} = \frac{25}{6}\) s.
2. Lần thứ hai trong chu kì (theo chiều ngược lại): \(t_{1b} = \frac{25}{2}\) s.

Ta có thể liệt kê các thời điểm theo thứ tự tăng dần:

• Lần 1: \(t = \frac{25}{6}\) s (tương ứng với \(t_1\) khi \(k=0\))
• Lần 2: \(t = \frac{25}{2}\) s (tương ứng với \(t_2\) khi \(k=1\))
• Lần 3: \(t = \frac{175}{6}\) s (tương ứng với \(t_1\) khi \(k=1\). Lưu ý: \(\frac{175}{6} = \frac{25}{6} + 25 = \frac{25}{6} + T\))
• Lần 4: \(t = \frac{75}{2}\) s (tương ứng với \(t_2\) khi \(k=2\). Lưu ý: \(\frac{75}{2} = \frac{25}{2} + 25 = \frac{25}{2} + T\))

Quan sát quy luật, chúng ta thấy:

• Các lần lẻ (1, 3, 5, …) ứng với công thức \(t = \frac{25}{6} + 25k\).
• Các lần chẵn (2, 4, 6, …) ứng với công thức \(t = \frac{25}{2} + 25(k-1)\) (hoặc \(t = -\frac{25}{2} + 25k\) với \(k \ge 1\)).

Bước 3: Xác định thời điểm vật đi qua \(x = -30\) cm lần thứ 2025.

Chúng ta cần tìm thời điểm lần thứ 2025. Vì 2025 là một số lẻ, nên nó sẽ thuộc vào dãy các thời điểm của Trường hợp 1, tức là \(t = \frac{25}{6} + 25k\).

Đối với các lần lẻ (thứ N): \(N = 2k + 1\).

Chúng ta cần tìm lần thứ 2025, vậy \(N = 2025\):

\(2025 = 2k + 1\)

\(2k = 2025 – 1\)

\(2k = 2024\)

\(k = \frac{2024}{2} = 1012\)

Bây giờ, thay giá trị \(k = 1012\) vào công thức \(t = \frac{25}{6} + 25k\):

\(t_{2025} = \frac{25}{6} + 25 \times 1012\)

\(t_{2025} = \frac{25}{6} + 25300\)

Để cộng hai số này, chúng ta quy đồng mẫu số:

\(t_{2025} = \frac{25}{6} + \frac{25300 \times 6}{6}\)

\(t_{2025} = \frac{25 + 151800}{6}\)

\(t_{2025} = \frac{151825}{6}\) s

Kết luận:

Vậy, thời điểm vật đi qua vị trí \(x = -30\) cm lần thứ 2025 là \(t = \frac{151825}{6}\) giây.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách xác định thời điểm vật đi qua một vị trí cho trước trong dao động điều hòa. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé!