Bài toán yêu cầu chúng ta xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm đã cho là \(A (2;-2)\) và \(B (-1;3)\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của đồ thị hàm số. Một điểm được gọi là thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của điểm đó thỏa mãn phương trình của hàm số.

Bước 1: Thiết lập hệ phương trình dựa trên điều kiện đồ thị đi qua hai điểm A và B.

Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A (2;-2)\), nên khi thay \(x = 2\) và \(y = -2\) vào phương trình hàm số, ta sẽ có một phương trình:

\( -2 = a(2) + b \)

Hay viết lại là:

\( 2a + b = -2 \) (Phương trình 1)

Tương tự, vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B (-1;3)\), nên khi thay \(x = -1\) và \(y = 3\) vào phương trình hàm số, ta sẽ có một phương trình khác:

\( 3 = a(-1) + b \)

Hay viết lại là:

\( -a + b = 3 \) (Phương trình 2)

Bây giờ, chúng ta đã có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\):

\[ \begin{cases} 2a + b = -2 \\ -a + b = 3 \end{cases} \]

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm giá trị của a và b.

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này. Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.

Chúng ta nhận thấy rằng hệ số của \(b\) trong cả hai phương trình đều là 1. Để loại bỏ \(b\), ta có thể lấy Phương trình 1 trừ đi Phương trình 2:

\( (2a + b) – (-a + b) = -2 – 3 \)

Thực hiện phép trừ:

\( 2a + b + a – b = -5 \)
\( 3a = -5 \)

Từ đó, ta tìm được giá trị của \(a\):

\( a = \frac{-5}{3} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay giá trị của \(a\) vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(b\). Chúng ta sẽ thay vào Phương trình 2 vì nó có vẻ đơn giản hơn:

\( -a + b = 3 \)
\( -(\frac{-5}{3}) + b = 3 \)
\( \frac{5}{3} + b = 3 \)

Để tìm \(b\), ta chuyển \(\frac{5}{3}\) sang vế phải:

\( b = 3 – \frac{5}{3} \)

Quy đồng mẫu số để thực hiện phép trừ:

\( b = \frac{3 \times 3}{3} – \frac{5}{3} \)
\( b = \frac{9}{3} – \frac{5}{3} \)
\( b = \frac{9 – 5}{3} \)
\( b = \frac{4}{3} \)

Bước 3: Kết luận.

Vậy, các giá trị của \(a\) và \(b\) để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A (2;-2)\) và \(B (-1;3)\) là:

\( a = \frac{-5}{3} \) và \( b = \frac{4}{3} \).

Do đó, phương trình của đường thẳng đó là \(y = \frac{-5}{3}x + \frac{4}{3}\).

Các em có thể kiểm tra lại bằng cách thay tọa độ của điểm A và điểm B vào phương trình này để xem chúng có thỏa mãn hay không nhé!