Bài toán: Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = \cos x + \sin x\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hiệu quả, đó là biến đổi hàm số về dạng \(a\sin(x+\alpha)\) hoặc \(a\cos(x+\alpha)\).

Bước 1: Biến đổi hàm số về dạng \(a\cos(x+\alpha)\)

Chúng ta có thể viết lại hàm số \(y = \cos x + \sin x\) dưới dạng \(y = a\cos(x+\alpha)\). Để làm được điều này, chúng ta cần tìm các hệ số \(a\) và \(\alpha\).

Ta có công thức khai triển của \(a\cos(x+\alpha)\) là: \(a\cos(x+\alpha) = a(\cos x \cos \alpha – \sin x \sin \alpha)\).

So sánh với hàm số ban đầu \(y = \cos x + \sin x\), ta cần có:

• \(a\cos \alpha = 1\)
• \(-a\sin \alpha = 1\) hay \(a\sin \alpha = -1\)

Bình phương hai phương trình trên và cộng lại, ta được:

\((a\cos \alpha)^2 + (a\sin \alpha)^2 = 1^2 + (-1)^2\)

\(a^2\cos^2 \alpha + a^2\sin^2 \alpha = 1 + 1\)

\(a^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2\)

Vì \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\), ta có:

\(a^2 = 2\)

Do chúng ta muốn tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, chúng ta chọn giá trị dương cho \(a\), vậy \(a = \sqrt{2}\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm \(\alpha\). Ta có:

• \(\sqrt{2}\cos \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• \(\sqrt{2}\sin \alpha = -1 \implies \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dựa vào các giá trị \(\cos \alpha\) và \(\sin \alpha\), chúng ta xác định được \(\alpha\). Góc \(\alpha\) thỏa mãn \(\cos \alpha > 0\) và \(\sin \alpha < 0\) nằm ở góc phần tư thứ IV. Một trong những giá trị \(\alpha\) thỏa mãn là \(\alpha = -\frac{\pi}{4}\) (hoặc \(\frac{7\pi}{4}\)).

Vậy, hàm số có thể viết lại là: \(y = \sqrt{2}\cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right)\).

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số đã biến đổi

Chúng ta biết rằng với mọi góc \(\theta\), giá trị của \(\cos \theta\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Tức là:

\(-1 \le \cos \theta \le 1\)

Trong trường hợp của chúng ta, \(\theta = x – \frac{\pi}{4}\). Do đó:

\(-1 \le \cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \le 1\)

Nhân cả ba vế của bất đẳng thức này với \(\sqrt{2}\) (là một số dương), ta được:

\(-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}\)

Hay:

\(-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}\)

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \cos x + \sin x\) là \(-\sqrt{2}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \cos x + \sin x\) là \(\sqrt{2}\).

Lưu ý: Chúng ta cũng có thể biến đổi hàm số về dạng \(a\sin(x+\beta)\) và sẽ thu được kết quả tương tự.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!