Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay liên quan đến hệ phương trình tuyến tính và điều kiện nghiệm nguyên. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải kết hợp nhiều kiến thức đã học, từ điều kiện có nghiệm duy nhất cho đến việc tìm giá trị nguyên của biến.

Đề bài: Xác định \(m\) nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên :

\(\left \{ {{mx+2y=m+1} \atop {2x+my=2m-1}} \right.\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng:

\(\left \{ {{a_1x+b_1y=c_1} \atop {a_2x+b_2y=c_2}} \right.\)

có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của hệ khác 0, tức là \(a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0\).

Áp dụng vào hệ phương trình của chúng ta:

\(\left \{ {{mx+2y=m+1} \quad (1) \\ {2x+my=2m-1} \quad (2)} \right.\)

Ta có \(a_1 = m\), \(b_1 = 2\), \(a_2 = 2\), \(b_2 = m\).

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:

\(m \cdot m – 2 \cdot 2 \neq 0\)

\(m^2 – 4 \neq 0\)

\((m-2)(m+2) \neq 0\)

Điều này có nghĩa là \(m \neq 2\) và \(m \neq -2\).

Bước 2: Tìm nghiệm của hệ phương trình theo \(m\).

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp định thức Cramer hoặc phương pháp cộng đại số (khử biến) để tìm \(x\) và \(y\) theo \(m\).

Cách 1: Sử dụng phương pháp định thức Cramer.

Định thức của hệ: \(D = m^2 – 4\).

Định thức của \(x\): \(D_x = \begin{vmatrix} m+1 & 2 \\ 2m-1 & m \end{vmatrix} = (m+1)m – 2(2m-1)\)

\(D_x = m^2 + m – 4m + 2 = m^2 – 3m + 2\)

Phân tích thành nhân tử: \(D_x = (m-1)(m-2)\).

Định thức của \(y\): \(D_y = \begin{vmatrix} m & m+1 \\ 2 & 2m-1 \end{vmatrix} = m(2m-1) – 2(m+1)\)

\(D_y = 2m^2 – m – 2m – 2 = 2m^2 – 3m – 2\)

Phân tích thành nhân tử: \(D_y = (2m+1)(m-2)\).

Nghiệm của hệ là:

\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{(m-1)(m-2)}{(m-2)(m+2)}\)

Vì \(m \neq 2\) (theo Bước 1), chúng ta có thể rút gọn \((m-2)\) ở cả tử và mẫu:

\(x = \frac{m-1}{m+2}\)

\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{(2m+1)(m-2)}{(m-2)(m+2)}\)

Vì \(m \neq 2\), chúng ta có thể rút gọn \((m-2)\):

\(y = \frac{2m+1}{m+2}\)

Bước 3: Điều kiện để \(x\) và \(y\) là số nguyên.

Ta có biểu thức của \(x\) và \(y\) theo \(m\):

\(x = \frac{m-1}{m+2}\)

\(y = \frac{2m+1}{m+2}\)

Để \(x\) là số nguyên, \(\frac{m-1}{m+2}\) phải là một số nguyên. Chúng ta có thể biến đổi biểu thức này như sau:

\(x = \frac{m+2-3}{m+2} = \frac{m+2}{m+2} – \frac{3}{m+2} = 1 – \frac{3}{m+2}\)

Để \(x\) là số nguyên, thì \(\frac{3}{m+2}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \((m+2)\) phải là ước của 3.

Các ước nguyên của 3 là: \(\{-3, -1, 1, 3\}\).

Ta xét các trường hợp cho \(m+2\):

• Nếu \(m+2 = -3 \Rightarrow m = -5\)
• Nếu \(m+2 = -1 \Rightarrow m = -3\)
• Nếu \(m+2 = 1 \Rightarrow m = -1\)
• Nếu \(m+2 = 3 \Rightarrow m = 1\)

Vậy, các giá trị nguyên của \(m\) để \(x\) là số nguyên là \(\{-5, -3, -1, 1\}\).

Tương tự, để \(y\) là số nguyên, \(\frac{2m+1}{m+2}\) phải là một số nguyên. Chúng ta biến đổi biểu thức này:

\(y = \frac{2m+4-3}{m+2} = \frac{2(m+2)-3}{m+2} = \frac{2(m+2)}{m+2} – \frac{3}{m+2} = 2 – \frac{3}{m+2}\)

Để \(y\) là số nguyên, thì \(\frac{3}{m+2}\) phải là số nguyên. Điều này cũng có nghĩa là \((m+2)\) phải là ước của 3.

Điều kiện này giống hệt với điều kiện để \(x\) là số nguyên. Do đó, các giá trị nguyên của \(m\) để \(y\) là số nguyên cũng là \(\{-5, -3, -1, 1\}\).

Bước 4: Kết hợp các điều kiện và kết luận.

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên, \(m\) phải thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

• \(m\) là số nguyên (theo đề bài).
• \(m \neq 2\) và \(m \neq -2\) (điều kiện có nghiệm duy nhất).
• \(m \in \{-5, -3, -1, 1\}\) (điều kiện để \(x, y\) là số nguyên).

Kiểm tra các giá trị của \(m\) trong tập \(\{-5, -3, -1, 1\}\):

• Tất cả các giá trị này đều là số nguyên.
• Không có giá trị nào bằng 2 hoặc -2.

Vậy, các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\{-5, -3, -1, 1\}\).

Kết luận:

Các giá trị nguyên của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên là:

\(m \in \{-5, -3, -1, 1\}\).

Các em nhớ trình bày bài giải một cách rõ ràng và logic như trên nhé. Nếu có thắc mắc gì, cứ hỏi thầy!