Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán xác định giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của một số hàm số lượng giác. Đây là một dạng bài rất thường gặp trong chương trình Toán 11 và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai trên một đoạn, cùng với miền giá trị của các hàm số lượng giác cơ bản.

Phương pháp chung để giải quyết các bài toán này là đặt ẩn phụ. Chúng ta sẽ đặt một biểu thức lượng giác (ví dụ: \(\sin x\), \(\cos x\), \(\sin 2x\), …) là một biến mới \(t\). Sau đó, chúng ta sẽ xác định miền giá trị của \(t\) và chuyển hàm số ban đầu về dạng hàm số bậc hai theo \(t\). Cuối cùng, ta sẽ tìm min, max của hàm số bậc hai này trên miền giá trị của \(t\).

Bây giờ, chúng ta hãy cùng đi vào từng bài toán cụ thể nhé!

— Bài 1: Xác định min, max của hàm số: \(y=2(2\sin x-1)^2+3\) —

Phân tích và Giải:

Để tìm min, max của hàm số này, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ:

Bước 1: Đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = 2\sin x – 1\).

Bước 2: Xác định miền giá trị của ẩn phụ \(t\).

Chúng ta biết rằng miền giá trị của hàm số \(\sin x\) là \([-1; 1]\).
Tức là: \(-1 \le \sin x \le 1\)

Nhân 2 vào các vế: \(-2 \le 2\sin x \le 2\)

Trừ 1 vào các vế: \(-2 – 1 \le 2\sin x – 1 \le 2 – 1\)

Suy ra: \(-3 \le t \le 1\).

Vậy, ẩn phụ \(t\) có miền giá trị là \([-3; 1]\).

Bước 3: Biến đổi hàm số ban đầu theo \(t\).

Hàm số trở thành: \(f(t) = 2t^2 + 3\).

Bước 4: Tìm min, max của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-3; 1]\).

Đây là một hàm số bậc hai có dạng parabol \(y = at^2 + bt + c\) với \(a = 2 > 0\). Điều này có nghĩa là parabol có bề lõm quay lên trên.

Đỉnh của parabol có hoành độ là \(t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0\).

Vì \(t_v = 0\) nằm trong đoạn \([-3; 1]\), nên:

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t)\) đạt được tại đỉnh của parabol.
• Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(t)\) đạt được tại một trong hai mút của đoạn \([-3; 1]\), mút nào xa đỉnh hơn thì cho giá trị lớn hơn.

Tính toán giá trị tại đỉnh và các mút:

• Tại \(t = 0\) (đỉnh): \(f(0) = 2(0)^2 + 3 = 3\).
• Tại \(t = -3\) (mút trái): \(f(-3) = 2(-3)^2 + 3 = 2(9) + 3 = 18 + 3 = 21\).
• Tại \(t = 1\) (mút phải): \(f(1) = 2(1)^2 + 3 = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5\).

So sánh các giá trị này, ta có:

• Giá trị nhỏ nhất (min) là \(3\). Giá trị này đạt được khi \(t=0\), tức là \(2\sin x – 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}\) (điều này có thể xảy ra).
• Giá trị lớn nhất (max) là \(21\). Giá trị này đạt được khi \(t=-3\), tức là \(2\sin x – 1 = -3 \Rightarrow \sin x = -1\) (điều này có thể xảy ra).

Kết luận:

Min của hàm số là \(3\).

Max của hàm số là \(21\).

—

— Bài 2: Xác định min, max của hàm số: \(y=4\cos^2(x)-8\cos(x)+2\) —

Phân tích và Giải:

Tương tự như bài trên, ta sẽ đặt ẩn phụ:

Bước 1: Đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = \cos x\).

Bước 2: Xác định miền giá trị của ẩn phụ \(t\).

Miền giá trị của hàm số \(\cos x\) là \([-1; 1]\).

Vậy, ẩn phụ \(t\) có miền giá trị là \([-1; 1]\).

Bước 3: Biến đổi hàm số ban đầu theo \(t\).

Hàm số trở thành: \(f(t) = 4t^2 – 8t + 2\).

Bước 4: Tìm min, max của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-1; 1]\).

Đây là một hàm số bậc hai có \(a = 4 > 0\), nên parabol có bề lõm quay lên trên.

Đỉnh của parabol có hoành độ là \(t_v = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1\).

Vì \(t_v = 1\) nằm ở mút phải của đoạn \([-1; 1]\) và parabol có bề lõm quay lên, hàm số sẽ đồng biến trên \([1; \infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty; 1]\). Do đó, trên đoạn \([-1; 1]\) hàm số đang nghịch biến (đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t=1\) và giá trị lớn nhất tại \(t=-1\)).

Tính toán giá trị tại các mút:

• Tại \(t = 1\) (mút phải, cũng là đỉnh): \(f(1) = 4(1)^2 – 8(1) + 2 = 4 – 8 + 2 = -2\).
• Tại \(t = -1\) (mút trái): \(f(-1) = 4(-1)^2 – 8(-1) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14\).

So sánh các giá trị này, ta có:

• Giá trị nhỏ nhất (min) là \(-2\). Giá trị này đạt được khi \(t=1\), tức là \(\cos x = 1\) (điều này có thể xảy ra).
• Giá trị lớn nhất (max) là \(14\). Giá trị này đạt được khi \(t=-1\), tức là \(\cos x = -1\) (điều này có thể xảy ra).

Kết luận:

Min của hàm số là \(-2\).

Max của hàm số là \(14\).

—

— Bài 3: Xác định min, max của hàm số: \(y=\sin^2(2x)-6\sin(2x)+3\) —

Phân tích và Giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = \sin(2x)\).

Bước 2: Xác định miền giá trị của ẩn phụ \(t\).

Miền giá trị của hàm số \(\sin(2x)\) cũng là \([-1; 1]\) (vì góc \(2x\) có thể nhận mọi giá trị thực, nên \(\sin(2x)\) sẽ quét qua toàn bộ miền giá trị của hàm sin).

Vậy, ẩn phụ \(t\) có miền giá trị là \([-1; 1]\).

Bước 3: Biến đổi hàm số ban đầu theo \(t\).

Hàm số trở thành: \(f(t) = t^2 – 6t + 3\).

Bước 4: Tìm min, max của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-1; 1]\).

Đây là một hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0\), nên parabol có bề lõm quay lên trên.

Đỉnh của parabol có hoành độ là \(t_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\).

Vì \(t_v = 3\) nằm ngoài đoạn \([-1; 1]\) (cụ thể là \(3 > 1\)), và parabol có bề lõm quay lên, hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 3]\). Đoạn \([-1; 1]\) nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến này. Do đó, trên đoạn \([-1; 1]\) hàm số sẽ nghịch biến.

• Giá trị lớn nhất sẽ đạt được tại điểm đầu của đoạn: \(t = -1\).
• Giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại điểm cuối của đoạn: \(t = 1\).

Tính toán giá trị tại các mút:

• Tại \(t = -1\): \(f(-1) = (-1)^2 – 6(-1) + 3 = 1 + 6 + 3 = 10\).
• Tại \(t = 1\): \(f(1) = (1)^2 – 6(1) + 3 = 1 – 6 + 3 = -2\).

So sánh các giá trị này, ta có:

• Giá trị nhỏ nhất (min) là \(-2\). Giá trị này đạt được khi \(t=1\), tức là \(\sin(2x) = 1\) (điều này có thể xảy ra).
• Giá trị lớn nhất (max) là \(10\). Giá trị này đạt được khi \(t=-1\), tức là \(\sin(2x) = -1\) (điều này có thể xảy ra).

Kết luận:

Min của hàm số là \(-2\).

Max của hàm số là \(10\).

—

— Bài 4: Xác định min, max của hàm số: \(y=\sqrt{\cos(2x)-12\cos(x)+20}\) —

Phân tích và Giải:

Đầu tiên, chúng ta cần biến đổi biểu thức bên trong dấu căn về một dạng đơn giản hơn, chỉ chứa một loại hàm lượng giác.

Bước 1: Biến đổi biểu thức trong căn.

Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1\).

Thay vào biểu thức trong căn, ta có:

\(E = \cos(2x) – 12\cos(x) + 20\)
\(E = (2\cos^2(x) – 1) – 12\cos(x) + 20\)
\(E = 2\cos^2(x) – 12\cos(x) + 19\)

Bước 2: Đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = \cos x\).

Bước 3: Xác định miền giá trị của ẩn phụ \(t\).

Miền giá trị của hàm số \(\cos x\) là \([-1; 1]\).

Vậy, ẩn phụ \(t\) có miền giá trị là \([-1; 1]\).

Bước 4: Biến đổi biểu thức \(E\) theo \(t\).

Biểu thức trong căn trở thành: \(g(t) = 2t^2 – 12t + 19\).

Bước 5: Tìm min, max của hàm số \(g(t)\) trên đoạn \([-1; 1]\).

Đây là một hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\), nên parabol có bề lõm quay lên trên.

Đỉnh của parabol có hoành độ là \(t_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\).

Vì \(t_v = 3\) nằm ngoài đoạn \([-1; 1]\) (cụ thể là \(3 > 1\)), và parabol có bề lõm quay lên, hàm số \(g(t)\) sẽ nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 3]\). Đoạn \([-1; 1]\) nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến này. Do đó, trên đoạn \([-1; 1]\) hàm số \(g(t)\) sẽ nghịch biến.

• Giá trị lớn nhất của \(g(t)\) sẽ đạt được tại \(t = -1\).
• Giá trị nhỏ nhất của \(g(t)\) sẽ đạt được tại \(t = 1\).

Tính toán giá trị tại các mút:

• Tại \(t = -1\): \(g(-1) = 2(-1)^2 – 12(-1) + 19 = 2 + 12 + 19 = 33\).
• Tại \(t = 1\): \(g(1) = 2(1)^2 – 12(1) + 19 = 2 – 12 + 19 = 9\).

Vậy, miền giá trị của \(g(t)\) là \([9; 33]\).

Vì \(g(t) \ge 9 > 0\) trên đoạn \([-1; 1]\), nên biểu thức trong căn luôn dương, hàm số \(y\) luôn xác định.

Bước 6: Tìm min, max của hàm số \(y=\sqrt{g(t)}\).

Hàm số \(h(u) = \sqrt{u}\) là một hàm đồng biến (tức là nếu \(u_1 < u_2\) thì \(\sqrt{u_1} < \sqrt{u_2}\)).

Do đó, \(y\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \(g(t)\) đạt giá trị nhỏ nhất, và \(y\) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \(g(t)\) đạt giá trị lớn nhất.

• Giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(\sqrt{\min(g(t))} = \sqrt{9} = 3\). Giá trị này đạt được khi \(t=1\), tức là \(\cos x = 1\) (có thể xảy ra).
• Giá trị lớn nhất của \(y\) là \(\sqrt{\max(g(t))} = \sqrt{33}\). Giá trị này đạt được khi \(t=-1\), tức là \(\cos x = -1\) (có thể xảy ra).

Kết luận:

Min của hàm số là \(3\).

Max của hàm số là \(\sqrt{33}\).

—

— Bài 5: Xác định min, max của hàm số: \(y=\sin^2(x+(\pi/3))-4\sin(x+(\pi/3))+3\) —

Phân tích và Giải:

Bài toán này có cấu trúc tương tự bài 3.

Bước 1: Đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\).

Bước 2: Xác định miền giá trị của ẩn phụ \(t\).

Miền giá trị của hàm số \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) cũng là \([-1; 1]\) (vì việc cộng thêm \(\frac{\pi}{3}\) vào góc không làm thay đổi miền giá trị của hàm sin).

Vậy, ẩn phụ \(t\) có miền giá trị là \([-1; 1]\).

Bước 3: Biến đổi hàm số ban đầu theo \(t\).

Hàm số trở thành: \(f(t) = t^2 – 4t + 3\).

Bước 4: Tìm min, max của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-1; 1]\).

Đây là một hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0\), nên parabol có bề lõm quay lên trên.

Đỉnh của parabol có hoành độ là \(t_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\).

Vì \(t_v = 2\) nằm ngoài đoạn \([-1; 1]\) (cụ thể là \(2 > 1\)), và parabol có bề lõm quay lên, hàm số \(f(t)\) sẽ nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 2]\). Đoạn \([-1; 1]\) nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến này. Do đó, trên đoạn \([-1; 1]\) hàm số sẽ nghịch biến.

• Giá trị lớn nhất sẽ đạt được tại điểm đầu của đoạn: \(t = -1\).
• Giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại điểm cuối của đoạn: \(t = 1\).

Tính toán giá trị tại các mút:

• Tại \(t = -1\): \(f(-1) = (-1)^2 – 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8\).
• Tại \(t = 1\): \(f(1) = (1)^2 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0\).

So sánh các giá trị này, ta có:

• Giá trị nhỏ nhất (min) là \(0\). Giá trị này đạt được khi \(t=1\), tức là \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1\) (điều này có thể xảy ra).
• Giá trị lớn nhất (max) là \(8\). Giá trị này đạt được khi \(t=-1\), tức là \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = -1\) (điều này có thể xảy ra).

Kết luận:

Min của hàm số là \(0\).

Max của hàm số là \(8\).

—

Hy vọng qua những bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ hơn cách tìm min, max của các hàm số lượng giác dạng bậc hai. Luôn nhớ các bước quan trọng là đặt ẩn phụ, xác định miền giá trị của ẩn phụ, và tìm cực trị của hàm bậc hai trên đoạn đó!