Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số lượng giác. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình của chúng ta.

Chúng ta sẽ bắt đầu với câu hỏi:

Xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau:

a. \( 2\sin^2 x – \sin x + 3 \)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Phân tích và cách giải:

Chúng ta thấy rằng hàm số \( y = 2\sin^2 x – \sin x + 3 \) có chứa cả \(\sin^2 x\) và \(\sin x\). Đây là dấu hiệu cho thấy chúng ta nên đặt một biến mới để đơn giản hóa biểu thức.

Đặt \( t = \sin x \).

Chúng ta biết rằng giá trị của \(\sin x\) luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, khi đặt \( t = \sin x \), thì miền giá trị của \(t\) là \( [-1, 1] \).

Bây giờ, hàm số ban đầu sẽ trở thành một hàm bậc hai theo biến \(t\):
\( y = 2t^2 – t + 3 \) với \( t \in [-1, 1] \).

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai \( y = at^2 + bt + c \) trên một đoạn \( [m, n] \), chúng ta cần xét các yếu tố sau:

1. Giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn, tức là tại \(t = -1\) và \(t = 1\).
2. Tọa độ đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh được tính bằng \( t_0 = -\frac{b}{2a} \). Nếu \( t_0 \) nằm trong đoạn \( [m, n] \), thì chúng ta cũng cần tính giá trị của hàm số tại \(t_0\).

Áp dụng vào bài toán:

Với hàm số \( y = 2t^2 – t + 3 \), ta có \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 3 \).

Bước 1: Tính giá trị tại hai đầu mút của đoạn \( [-1, 1] \).

• Tại \( t = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^2 – (-1) + 3 = 2(1) + 1 + 3 = 2 + 1 + 3 = 6 \).
• Tại \( t = 1 \): \( y(1) = 2(1)^2 – (1) + 3 = 2(1) – 1 + 3 = 2 – 1 + 3 = 4 \).

Bước 2: Xét tọa độ đỉnh của parabol.

• Hoành độ đỉnh: \( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(2)} = \frac{1}{4} \).
• Ta kiểm tra xem \( t_0 = \frac{1}{4} \) có thuộc đoạn \( [-1, 1] \) hay không. Rõ ràng, \( -1 \le \frac{1}{4} \le 1 \). Vậy \( t_0 \) nằm trong đoạn.
• Tính giá trị của hàm số tại \( t = \frac{1}{4} \):
  \( y\left(\frac{1}{4}\right) = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 – \frac{1}{4} + 3 = 2\left(\frac{1}{16}\right) – \frac{1}{4} + 3 = \frac{1}{8} – \frac{2}{8} + \frac{24}{8} = \frac{1 – 2 + 24}{8} = \frac{23}{8} \).

Bước 3: So sánh các giá trị tìm được.

Các giá trị chúng ta tìm được là: \( 6 \), \( 4 \), và \( \frac{23}{8} \).

Chúng ta cần so sánh ba số này để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

• \( \frac{23}{8} = 2.875 \)
• \( 6 \)
• \( 4 \)

Trong ba số này:

• Số lớn nhất là \( 6 \).
• Số nhỏ nhất là \( \frac{23}{8} \).

Kết luận:

Vậy, đối với hàm số \( y = 2\sin^2 x – \sin x + 3 \):

• Giá trị lớn nhất là \( 6 \).
• Giá trị nhỏ nhất là \( \frac{23}{8} \).

b. \( 4 + \cos x – 4 \cos^2 x \)

Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tương tự cho câu b.

Phân tích và cách giải:

Tương tự như câu a, hàm số \( y = 4 + \cos x – 4 \cos^2 x \) có chứa cả \(\cos^2 x\) và \(\cos x\). Chúng ta sẽ đặt ẩn phụ.

Đặt \( t = \cos x \).

Chúng ta biết rằng giá trị của \(\cos x\) luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, miền giá trị của \(t\) là \( [-1, 1] \).

Hàm số ban đầu trở thành:
\( y = 4 + t – 4t^2 \) với \( t \in [-1, 1] \).

Đây là một hàm bậc hai \( y = -4t^2 + t + 4 \) trên đoạn \( [-1, 1] \).

Áp dụng vào bài toán:

Với hàm số \( y = -4t^2 + t + 4 \), ta có \( a = -4 \), \( b = 1 \), \( c = 4 \).

Bước 1: Tính giá trị tại hai đầu mút của đoạn \( [-1, 1] \).

• Tại \( t = -1 \): \( y(-1) = -4(-1)^2 + (-1) + 4 = -4(1) – 1 + 4 = -4 – 1 + 4 = -1 \).
• Tại \( t = 1 \): \( y(1) = -4(1)^2 + (1) + 4 = -4(1) + 1 + 4 = -4 + 1 + 4 = 1 \).

Bước 2: Xét tọa độ đỉnh của parabol.

• Hoành độ đỉnh: \( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-4)} = -\frac{1}{-8} = \frac{1}{8} \).
• Ta kiểm tra xem \( t_0 = \frac{1}{8} \) có thuộc đoạn \( [-1, 1] \) hay không. Rõ ràng, \( -1 \le \frac{1}{8} \le 1 \). Vậy \( t_0 \) nằm trong đoạn.
• Tính giá trị của hàm số tại \( t = \frac{1}{8} \):
  \( y\left(\frac{1}{8}\right) = -4\left(\frac{1}{8}\right)^2 + \frac{1}{8} + 4 = -4\left(\frac{1}{64}\right) + \frac{1}{8} + 4 = -\frac{1}{16} + \frac{2}{16} + \frac{64}{16} = \frac{-1 + 2 + 64}{16} = \frac{65}{16} \).

Bước 3: So sánh các giá trị tìm được.

Các giá trị chúng ta tìm được là: \( -1 \), \( 1 \), và \( \frac{65}{16} \).

Chúng ta cần so sánh ba số này.

• \( \frac{65}{16} = 4.0625 \)
• \( -1 \)
• \( 1 \)

Trong ba số này:

• Số lớn nhất là \( \frac{65}{16} \).
• Số nhỏ nhất là \( -1 \).

Kết luận:

Vậy, đối với hàm số \( y = 4 + \cos x – 4 \cos^2 x \):

• Giá trị lớn nhất là \( \frac{65}{16} \).
• Giá trị nhỏ nhất là \( -1 \).

Các em thấy đấy, phương pháp đặt ẩn phụ và xét hàm số bậc hai trên một đoạn là một công cụ rất hiệu quả để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác. Các em hãy ôn tập kỹ dạng bài này nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.